Элементарные функции комплексной переменной

1. Степенная функция w = z ⁿ, n - натуральное. Определена, однозначна и аналитична на всей плоскости С.

2. Показательная функция w = e ^z.

Кратко перечислим свойства этой функции.
1. Функция w = e ^z аналитична на всей плоскости С, и (e ^z )’ = e ^z (доказано в разделе 19.3.3. Примеры вычисления производных).
2. e ^z 1· e ^z 2 = e ^z 1 + z ₂ (проверяется непосредственно).
3. Функция w = e ^z периодическая, с мнимым основным периодом 2π i (e ^{2π i} = cos(2π) + i sin(2π) = 1, e ^{z + 2π i} = e ^z · e ^{2π i} = e ^z).

3. Тригонометрические функции. Определим эти функции соотношениями , .

4. Гиперболические функции. Эти функции определяются соотношениями , .

5. Функция . Это n -значная функция (раздел 19.1.3), все значений которой даются формулами , k = 0, 1, 2, …, n -1. Функция определяется равенством .

6. Логарифмическая функция w = Ln z определяется при z ≠ 0 как функция, обратная показательной: w = Ln z, если z = e ^w. Если w = u + iv, то последнее равенство означает, что e ^w = e ^u + iv = e ^ue ^iv = z = | z | e ⁱ Arg z, откуда e ^u = | z | ⇒ u = ln | z |; v = Arg z = arg z + 2 k π i. Таким образом, Ln z = ln| z | + i (arg z + 2 k π), k = 0, ±1, ±2, ±3,... - функция многозначная (бесконечнозначная); её значение при k = 0 называется главным и обозначается ln z: = ln | z | + i arg z. Так,ln (−5) = ln |−5| + i arg (−5) = ln 5 + π i, Ln (−5) = Ln |−5| + i arg (−5) + 2 k π i = ln 5 + i π(2 k + 1), где k - произвольное целое число.

7. Общая показательная a ^z и общая степенная z ^a (z, a - произвольные комплексные числа, z, a ≠ 0, a = const) функции определяются соотношениями a ^z = e ^z· Ln a, z ^a = e ^a· Ln z,и,следовательно, бесконечнозначны.

8. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции определяются так же, как и в действительном случае (w = Ar sh z, если sh z = w, например), и выражаются через Ln z.