Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Расчет доверительных интервалов и прогнозов для линейного уравнения регрессии
Как правило, в линейной регрессии обычно оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров.Показатели корреляционной связи, вычисленные по ограниченной совокупности (по выборке), являются лишь оценками той или иной статистической закономерности, поскольку в любом параметре сохраняется элемент не полностью погасившейся случайности, присущей индивидуальным значениям признаков. Поэтому необходима статистическая оценка степени точности и надежности параметров корреляции. Под надежностью здесь понимается вероятность того, что значение проверяемого параметра не равно нулю, не включает в себя величины противоположных знаков. Вероятностная оценка параметров корреляции производится по общим правилам проверки статистических гипотез, разработанным математической статистикой, в частности путем сравнения оцениваемой величины со средней случайной ошибкой оценки. Для коэффициента парной регрессии b средняя ошибка оценки вычисляется как: где Dост – остаточная дисперсия на одну степень свободы. Для нашего примера величина стандартной ошибки коэффициента регрессии составила: . Для оценки того, насколько точные значения показателей могут отличаться от рассчитанных, осуществляется построение доверительных интервалов. Они определяют пределы, в которых лежат точные значения определяемых показателей с заданной степенью точности, соответствующей заданному уровню значимости α (α – вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна, обычно принимается равной 0,05 или 0,01). Для оценки статистической значимости коэффициента линейной регрессии и линейного коэффициента парной корреляции, а также для расчета доверительных интервалов b, применяется t – критерий Стьюдента. Для оценки существенности коэффициента регрессии его величина сравнивается с его стандартной ошибкой, т.е. определяется фактическое значение t-критерия Стьюдента: , которое затем сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости а и числе степеней свободы (n - 2). В рассматриваемом примере фактическое значение t-критерия для коэффициента регрессии составило: . Этот же результат получим, извлекая квадратный корень из найденного F-критерия, т.е. . Действительно, справедливо равенство . При (для двустороннего критерия) и числе степеней свободы 13 табличное значение tb= 2,16. Так как фактическое значение t‑критерия превышает табличное, то, следовательно, гипотезу о несущественности коэффициента регрессии можно отклонить. Для расчета доверительных интервалов для параметров a и b уравнения линейной регрессии определяем предельную ошибку ∆ для каждого показателя: ∆а = tтабл · ma, ∆b = tтабл · mb. Формулы для расчета доверительных интервалов имеют вид: γa = a ± ∆а γamin = a - ∆а γamin = a + ∆а γb = b ± ∆b γbmin = b - ∆b γbmin = b + ∆b Если границы интервала имеют разные знаки, т.е. в эти границы попадает ноль, то оцениваемый параметр принимается нулевым. Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как . Для коэффициента регрессии b в примере 95%-ные границы составят: 0,022 ± 2,16·0,0026 = 0,022 ± 0,0057, т.е. 0,016 ≤ b ≤ 0,027. Поскольку коэффициент регрессии в эконометрических исследованиях имеет четкую экономическую интерпретацию, то доверительные границы интервала для коэффициента регрессии не должны содержать противоречивых результатов, например, -10 ≤ b ≤ 40. Такого рода запись указывает, что истинное значение коэффициента регрессии одновременно содержит положительные и отрицательные величины и даже ноль, чего не может быть. Стандартная ошибка параметра а определяется по формуле: Процедура оценивания существенности данного параметра не отличается от рассмотренной выше для коэффициента регрессии; вычисляется t-критерий: , его величина сравнивается с табличным значением при df = n - 2 степенях свободы. В нашем примере ma составила 0,032. Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе величины ошибки коэффициента корреляции mr: Фактическое значение t-критерия Стьюдента определяется как Данная формула свидетельствует, что в парной линейной регрессии , ибо, как уже указывалось, Кроме того, Следовательно, Таким образом, проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии. В рассматриваемом примере t r совпало с tb. Величина tr =8,37 значительно превышает табличное значение 2,16 при а=0,05. Следовательно, коэффициент корреляции существенно отличен от нуля и зависимость является достоверной. Прогноз, полученный подстановкой в уравнение регрессии ожидаемого значения фактора, называют точечным прогнозом. Вероятность точной реализации такого прогноза крайне мала. Необходимо сопроводить его значением средней ошибки прогноза или доверительным интервалом прогноза с достаточно большой вероятностью. Точечный прогноз заключается в получении прогнозного значения yp, которое определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего прогнозного значения xp: yp = a +b·xp. Интервальный прогноз заключается в построении доверительного интервала прогноза, т.е. верхней и нижней границы ypmin, ypmax интервала, содержащего точную величину для прогнозного значения Предварительно вычисляется стандартная ошибка прогноза .
И затем строится доверительный интервал прогноза, т.е. определяется нижняя и верхняя границы интервала прогноза , , где . Предположим, в нашем примере необходимо найти прогнозное значение результата, при условии, что прогнозное значение фактора х увеличится на 15% от своего среднего уровня и определить доверительный интервал прогноза. Увеличение прогнозного значения фактора х даст величину . Подставляя ее в формулу, находим , прогнозное значение результата при заданном условии yp = a+b∙xp = 6,63+0,022∙149,99 = 9,95. Далее найдем нижнюю и верхнюю границы интервала, учитывая, что ранее нами определенное tтабл=2,16: , . Т.о. доверительный интервал прогноза составит 9,73 < yp <10,18. В случае нелинейной регрессии оценка существенности индекса корреляции проводится, так же как и оценка надежности коэффициента корреляции. Индекс детерминации используется для проверки существенности в целом уравнения нелинейной регрессии по F-критерию Фишера: где R2 – индекс детерминации; n – число наблюдений; m – число параметров при переменных х. Величина m характеризует число степеней свободы для факторной суммы квадратов, а (n – m - 1) – число степеней свободы для остаточной суммы квадратов. Для степенной функции и формула F – критерия примет тот же вид, что и при линейной зависимости: Для параболы второй степени y=a + b·x + c·x2 + ε m=2 и . Для оценки качества построенной модели используется также средняя ошибка аппроксимации. Фактические значения результативного признака отличаются от теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии, т.е. у и . Чем меньше это отличие, тем ближе теоретические значения подходят к эмпирическим данным, лучше качество модели. Величина отклонений фактических и расчетных значений результативного признака (у - ) по каждому наблюдению представляет собой ошибку аппроксимации. Их число соответствует объему совокупности. В отдельных случаях ошибка аппроксимации может оказаться равной нулю. Для сравнения берутся величины отклонений, выраженные в процентах к фактическим значениям. Так, если для первого наблюдения у=20, а для второго у=50, ошибка аппроксимации составит 25% для первого наблюдения и 20% - для второго. Поскольку (у - ) может быть как величиной положительной, так и отрицательной, то ошибки аппроксимации для каждого наблюдения принято определять в процентах по модулю. Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, определяют среднюю ошибку аппроксимации как среднюю арифметическую простую: . Для нашего примера представим расчет средней ошибки аппроксимации в таблице 4. Date: 2015-07-27; view: 16942; Нарушение авторских прав |