Особенности построения модели нелинейной регрессии. Индекс корреляции

Линейные связи являются основными. Однако встречаются и нелинейные связи, хорошо описываемые параболой, гиперболой, степенной функцией и т. д.

Уравнение регрессии в форме параболы 2-го порядка имеет сле­дующий вид:

у = а + bх + сх².

Если при линейной связи среднее изменение результативного признака на единицу фактора постоянно по всей области вариации фактора, то при параболической корреляции изменение признака х на единицу признака у меняется равномерно с изменением величи­ны фактора. В результате связь может даже поменять знак на про­тивоположный, из прямой превратится в обратную, из обратной в прямую. Такой характер связи объективно присущ многим системам.

Например, с увеличением дозы удобрений урожайность сельхозкультур сначала повышается, но если превысить оптимальную величину дозы, то при дальнейшем росте дозы удобрений растения угнетаются и урожайность снижается.

Нормальные уравнения метода наименьших квадратов для параболы 2-го порядка таковы:

Решая эту систему, получаем значения параметров a, b и с.

Уравнение регрессии в форме гиперболы имеет следующий вид:

.

Если величина b положительна, то при увеличении значений факторного признака х значения результативного признака уменьшаются, причем это уменьшение все время замедляется, и при х → ∞ средняя величина признака у будет равна а. Если же параметр b отрицателен, то значения результативного признака с ростом фактора возрастают, причем их рост замедляется, и в пределе при х → ∞ у=а. Таким образом, гиперболические зависимости характерны для связей, в которых результативный признак не может варьировать неограниченно, его вариация имеет односторонний предел. Например, при освоении нового оборудования его производительность возрастет, но рост замедлится по мере приближения к конструктивно-технологическому пределу производственной мощности агрегата. Совершенствуя двигатель, можно увеличивать его КПД, но тоже не выше предела, допускаемого данным видом преобразования энергии. Таков же характер связи между уровнем душевого дохода х в семье и долей семей, имеющих домашние кинотеатры, у; он приближен к пределу (100%) в наиболее обеспеченной группе семей.

Нормальные уравнения метода наименьших квадратов для гиперболы таковы:

Легко видеть, что эти уравнения, по существу, те же, что и для линейной связи. Линеаризация гиперболического уравнения достига­ется заменой 1/х на новую переменную, которую можно обозначить z. Тогда уравнение гиперболы примет вид у = а + b∙z.

По-другому обстоит дело с регрессией, нелинейной по оцениваемым параметрам. Данный класс нелинейных моделей подразделяется на два типа: нелинейные модели внутренне линейные и нелинейные модели внутренне нелинейные. Если нелинейная модель внутренне линейна, то она с помощью соответствующих преобразований может быть приведена к линейному виду. Если же нелинейная модель внутренне нелинейна, то она не может быть сведена к линейной функции. Например, в эконометрических исследованиях при изучении эластичности спроса от цен широко используется степенная функция:

где у – спрашиваемое количество;

х – цена;

ε - случайная ошибка.

Данная модель нелинейна относительно оцениваемых параметров, т.к. включает параметры а и b неаддитивно. Но ее можно считать внутренне линейной, ибо путем логарифмирования данного уравнения по основанию е оно преобразовывается к линейному виду:

.

Соответственно оценки параметров а и b могут быть найдены МНК. В рассматриваемой степенной функции предполагается, что случайная ошибка ε мультипликативно связана с объясняющей переменной х. Если же модель представить в виде то она становится внутренне нелинейной, ибо ее невозможно превратить в линейный вид.

Внутренне нелинейной будет и модель вида

или модель

ибо эти уравнения не могут быть преобразованы в уравнения, линейные по коэффициентам.

В специальных исследованиях по регрессионному анализу часто к нелинейным относят модели, только внутренне нелинейные по оцениваемым параметрам, а все другие модели, которые внешне нелинейны, но путем преобразований параметров могут быть приведены к линейному виду, относятся к классу линейных моделей. В этом плане к линейным относят, например, экспоненциальную модель ибо, логарифмируя ее по натуральному основанию, получим линейную форму модели

.

Если модель внутренне нелинейна по параметрам, то для оценки параметров используются итеративные процедуры, успешность которых зависит от вида уравнений и особенностей применяемого итеративного подхода. Модели внутренне нелинейные по параметрам могут иметь место в эконометрических исследованиях. Однако, гораздо большее распространение получили модели, приводимые к линейном виду. Решение такого типа моделей реализовано в стандартных пакетах прикладных программ. Среди них, в частности, можно назвать и обратную модель вида

Обращая обе части равенства, получим линейную форму модели для переменной :

Приводима к линейному виду и логистическая функция

Обращая обе части равенства, получим:

Вычитая 1, имеем

Прологарифмировав обе части по натуральному основанию, получим уравнение линейной формы:

или

Среди нелинейных функций, которые могут быть приведены к линейному виду, в эконометрических исследованиях очень широко используется степенная функция . Это связано с тем, что параметр b в ней имеет четкой экономическое истолкование, т.е. он является коэффициентом эластичности.

Коэффициент эластичности показывает относительное изменение исследуемого экономического показателя под действием единичного относительного изменения экономического фактора, от которого он зависит при неизменных остальных влияющих на него факторах.

Эластичностью функции y=f(x) называется предел отношения относительных изменений переменных y и x:

где – первая производная, характеризующая соотношение приростов результата и фактора для соответствующей формы связи.

Для степенной функции она составит: . Соответственно коэффициент эластичности окажется равным:

Это означает, что величина коэффициента b показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1%.

Коэффициент эластичности, естественно, можно определять и при наличии других форм связи, но только для степенной функции он представляет собой постоянную величину, равную параметру b. В других функциях коэффициент эластичности зависит от значений фактора х.

Уравнение нелинейной регрессии, так же как и в линейной зависимости, дополняется показателем корреляции, а именно индексом корреляции (R):

где - общая дисперсия результативного признака у;

- остаточная дисперсия, определяемая исходя из уравнения регрессии .

Так как , то индекс корреляции можно выразить как

Величина данного показателя находится в границах: , чем ближе к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно найденное уравнение регрессии.

Поскольку в расчете индекса корреляции используется соотношение факторной и общей суммы квадратов отклонений, то R² имеет тот же смысл, что и коэффициент детерминации. В специальных исследованиях величину R² для нелинейных связей называют индексом детерминации.

Оценка существенности индекса корреляции проводится, так же как и оценка надежности коэффициента корреляции.