Магнетизм. · Механический момент, действующий на контур с током (рис

· Механический момент, действующий на контур с током (рис. 32), помещенный в однородное магнитное поле

Рис. 32. Рамка с током

, где - вектор магнитного момента рамки с током; - вектор магнитной индукции (количественная характеристика магнитного поля). Единица измерения магнитной индукции тесла (Тл).

· Закон Био-Савара-Лапласа: каждый элемент проводника с током создает в некоторой точке А индукцию поля (рис. 33)

Рис. 33. Магнитное поле, созданное проводником с током

, где – магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника с током, Тл; μ – магнитная проницаемость; μ 0 – магнитная постоянная (μ0 = 4π·10-7 Гн/м); – вектор, равный по модулю длине d l проводника и совпадающий по направлению с током; I – сила тока; – радиус вектор, проведенный от середины элемента проводника к точке, магнитная индукция в которой определяется.

· Модуль вектора выражается формулой

,

где α – угол между векторами и .

· Магнитная индукция связана с напряженностью магнитного поля соотношением .

· Магнитная индукция в центре кругового проводника с током (рис. 34)

,

где r – радиус витка.

· Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током (рис. 35)

,

где R – расстояние от оси проводника.

· Магнитная индукция поля, создаваемая соленоидом в средней его части (рис. 36)

,

где n – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида; I – сила тока в одном витке.

Рис. 34. Магнитное поле, созданное круговым проводником с током

Рис. 35. Магнитное поле, созданное длинным прямым проводником с током

Рис. 36. Магнитное поле, созданное соленоидом

· Принцип суперпозиции магнитных полей: магнитная индукция результирующего поля равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей .

В частном случае наложения двух полей

,

а модуль магнитной индукции

,

где α – угол между векторами и .

· Магнитная индукция поля, создаваемого движущимся точечным зарядом в вакууме

, или ,

где - скорость движущегося заряда; - радиус-вектор, направленный от заряда к точке, в которой определяется магнитная индукция; α – угол между векторами и .

· Закон Ампера

,

где - вектор, по модулю равный d l и совпадающий по направлению с током; - вектор магнитной индукции.

Модуль силы Ампера вычисляется по формуле

,

где α – угол между векторами и .

В случае однородного магнитного поля и прямолинейного отрезка проводника , или .

Рис. 37. Правило левой руки

Направление вектора может быть найдено, согласно последней формуле, по общим правилам векторного произведения. Этим правилам соответствует правило левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор, а четыре вытянутых пальца расположить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на ток (рис. 37).

· Магнитный момент контура с током

,

где - вектор, равный по модулю площади, охватываемой контуром, и совпадающий по направлению с нормалью к его плоскости.

· Сила Лоренца – сила действующая на одну заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле.

, или ,

где α – угол, образованный вектором скорости движущейся частицы и вектором магнитной индукции (рис. 37).

· Магнитный поток Ф через плоский контур площадью S (рис. 38)

а) в случае однородного поля

Рис. 38. Магнитный поток через плоский контур

, или где α – угол между вектором нормали к плоскости контура и вектором магнитной индукции , В n – проекция вектора на нормаль .

б) в случае неоднородного поля

,

где интегрирование ведется по всей поверхности S.

· Работа сил магнитного поля, совершаемая при перемещении контура с током в магнитном поле

,

где I – сила тока в контуре, которая поддерживается неизменной; Ф ₂ и Ф ₁ – магнитные потоки, пронизывающие контур, в конечном и начальном его положениях.

· Закон Фарадея-Максвелла (основной закон электромагнитной индукции)

,

где ε_i – электродвижущая сила индукции; N – число витков контура; ψ - потокосцепление.

· Электродвижущая сила самоиндукции, возникающая в замкнутом контуре при изменении силы тока в нем

,

где L – индуктивность контура.

· Энергия магнитного поля

,

где I – сила тока в контуре.

· Формула Томсона. Период собственных колебаний в контуре без активного сопротивления

,

где L – индуктивность контура, Гн; С – его электроемкость, Ф.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Мягкая спиральная пружина подвешена так, что ее нижний конец погружен в металлическую чашечку с ртутью, а верхний присоединен к источнику постоянного тока. Что произойдет с пружиной при замыкании ключа К?

Решение: При замыкании ключа К по пружине потечет ток. Каждый виток пружины будет создавать магнитное поле и притягивать к себе соседние витки (разноименные полюса магнитов притягиваются). Пружина сожмется, нижний конец пружины поднимется из ртути, цепь разомкнется, и ток перестанет идти. Если нет тока, нет и магнитного поля между витками и пружина расправится.

Рис. 39

После опускания нижнего конца пружины в ртуть весь процесс начнется сначала. Таким образом, пружина совершает периодические колебания.

Эту задачу можно решить и по-другому. Отдельные участки соседних витков, лежащие друг против друга, можно рассматривать как параллельные участки проводников, по которым текут токи в одном направлении (рис. 39б), такие проводники притягиваются друг к другу. Поэтому витки пружины будут притягиваться друг к другу и пружина сожмется, а нижний конец ее поднимется из ртути, разрывая цепь, по которой протекает ток. Исчезает магнитное поле проводников, и пружина вновь распрямляется. Конец пружины опускается в чашку с ртутью, вновь замыкая цепь, и т.д.

Пример 2. По длинному прямому тонкому проводу течет ток силой I = 20 А. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого проводником в точке, удаленной от него на расстояние r = 4 см.

Решение: В задаче рассматривается явление создания магнитного поля проводником с током. Проведем силовую линию магнитного поля через точку А (рис. 40), в которой определяется магнитная индукция . Магнитное поле, создаваемое проводником бесконечной длины, обладает осевой симметрией. Поэтому в плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной проводу, проведем окружность радиуса OA = r (рис. 40).

Рис. 40. Правило буравчика

Направление силовой линии и направление тока связаны правилом правого винта (буравчика): если поступательное движение винта направить по току, то вращательное движение головки винта укажет направление силовой линии (рис. 40). Определение направления силовой линии следует из закона Био-Савара-Лапласа, записанного в векторной форме:

.

Вектор совпадает с касательной в точке А и направлен так же, как силовая линия. Запишем выражение для магнитной индукции поля бесконечно длинного проводника с током на расстоянии r от него из уравнения . Считая, что проводник находится в вакууме (μ = 1), вычисляем, подставляя все величины в единицах системы СИ:

Тл.

Пример 3. Два параллельных бесконечно длинных провода D и C, по которым текут в одном направлении электрические токи силой I ₁ = I ₂ = 60 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого проводником с током в точке A, отстоящей от оси одного проводника на расстояние r ₁ = 5 см, от другого – r ₂ = 12 см.

Решение: В задаче рассматривается явление создания магнитного поля системой проводников. Проведем через точку A (рис. 41) часть силовой линии магнитного поля, создаваемого током I 1, а затем часть силовой линии магнитного поля, которое создается током I 2 (пунктирные дуги).

Рис. 41. Магнитное поле, созданное двумя бесконечно длинными проводниками

Построим и как касательные к этим дугам в точке А. Так как магнитные индукции определяются по формулам:

и , (1)

токи I ₁ = I ₂ = I, а r ₁ < r ₂, то B ₁ > B ₂.

Для нахождения в точке A магнитной индукции B, создаваемой системой проводников с токами, воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Для этого сложим и геометрически, по правилу параллелограмма: . Модуль вектора найдем по теореме косинусов:

, (2)

где α – угол между векторами и . Подставляя B ₁ и B ₂ (1) в формулу (2), и вынося за знак корня, получаем

. (3)

Найдем cos α из треугольника DAC. Заметим, что α = ∟DAC, как углы со взаимно перпендикулярными сторонами (, ; AD и AC – радиусы; и – касательные в точке A). По теореме косинусов запишем , где d = DC – расстояние между проводами.

Отсюда ; .

Теперь можно все данные подставить в формулу (3) и найти индукцию поля:

Тл или 308 мкТл.

Пример 4. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U = 400 В, попал в однородное магнитное поле напряженностью H = 1 кА/м. Определить радиус R кривизны траектории и частоту ν обращения электрона в магнитном поле. Вектор скорости перпендикулярен линиям поля .

Решение: В задаче рассматривается явление силового действия магнитного поля на движущийся заряд (рис. 42). На движущийся в магнитном поле заряд действует сила Лоренца (действием силы тяжести можно пренебречь). Сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости и, следовательно, сообщает электрону нормальное ускорение.

Рис. 42. Движение электрона в однородном магнитном поле

По второму закону Ньютона , где a _n – нормальное ускорение

или , (1)

где | q | – модуль заряда электрона; υ – скорость электрона; В – магнитная индукция; m – масса электрона; R – радиус кривизны траектории; α – угол между векторами и (в данном случае α = 90⁰, sin α = 1).

Из формулы (1) найдем

. (2)

Входящий в это равенство импульс p = m υ может быть выражен через кинетическую энергию Е _к электрона:

, откуда . (3)

Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, определяется работой электрического поля по ускорению электрона и по закону сохранения энергии Е _к = А = | q |· U. Подставляя это выражение в формулу (3), получим .

Магнитная индукция B может быть выражена через напряженность H магнитного поля в вакууме: .

Подставив выражения для В и в формулу (2), получим

м или 5,37 см.

Учитывая, что частота обратно пропорциональна периоду , а период можно определить как , получим формулу, связывающую частоту со скоростью и радиусом: . Подставив в последнюю формулу выражение (2), получим

или .

с^-1.

Пример 5. Длинный соленоид с сердечником из немагнитного материала содержит N = 1200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока I = 4 А магнитный поток Ф = 6 мкВб. Определить индуктивность L соленоида и энергию W магнитного поля соленоида, объемную плотность энергии магнитного поля w, если длина соленоида l = 1 м.

Решение: В задаче рассматривается явление создания магнитного поля соленоидом с током (рис. 43). Индуктивность L связана с потокосцеплением Ψ и силой тока I соотношением . (1)

Потокосцепление, в свою очередь, может быть определено через поток Ф и число витков N (при условии, что витки плотно прилегают друг к другу):

. (2)

Из формул (1) и (2) находим индуктивность соленоида

. (3)

Энергия магнитного поля соленоида: .

Выразив L согласно уравнению (3), получим энергию магнитного поля:

. (4)

Подставим значения физических величин в единицах СИ в формулы (3) и (4) и вычислим значения L и W:

Гн или 1,8 мГн.

Дж или 14,4 мДж.

Рис. 43. Соленоид

Энергию магнитного поля можно найти и другим способом. Запишем энергию магнитного поля как: , (5) где V, l – объем и длина соленоида, S – площадь витка. Напряженность магнитного поля длинного соленоида (d << l) . (6)

Магнитный поток внутри соленоида равен Ф = BS cos α. В длинном соленоиде α = 0, поэтому cos α = 1.

Тогда Ф = BS cos 0⁰ = BS = μμ₀ HS = μ₀ nIS,

где μ = 1 для немагнитного материала.

Из этой формулы выразим площадь S:

. (7)

Подставим формулы (6) и (7) в формулу (5):

.

Учитывая, что , получим формулу для вычисления энергии поля соленоида: .

Объёмная плотность энергии магнитного поля равна

.

Подставляя данные, получим, Дж/м³.

Пример 6. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 6 кВ, влетает в однородное магнитное поле под углом α = 30^o к направлению поля и движется по винтовой траектории. Индукция магнитного поля B = 13 мТл. Найти радиус R, шаг h винтовой траектории, период T обращения электрона, его кинетическую энергию.

Решение: В задаче рассматривается явление действия магнитного поля на движущийся в нем заряд. Разложим скорость электрона, влетающего в магнитное поле, по двум направлениям: вдоль линий поля – и перпендикулярно ему – .

На основании закона сохранения энергии работа электрического поля А = | q | U переходит в кинетическую энергию электрона ,

поэтому

. (1)

Из этой формулы определим скорость

, м/с.

Рис. 44. Движение электрона в однородном магнитном поле

Из рис. 44 видно, что υ _׀׀ = υ∙ cos α, . Формула для радиуса R:

.

Тогда .

Проведя вычисления, получим

м.

Шаг спирали найдем из соотношений: и ,

откуда .

Проведя вычисления, получим м.

Тогда период обращения электрона найдем как: с.