Жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теорема

Егер жүйенің k-нөмірлі нүктесін қарастырсақ, онда бұл нүкте үшін кинетикалық энергияның өзгеруі туралы теорема орын алады. Егер осы нүктеге әсер ететін сыртқы және ішкі күштердің элементар жұмыстарын және деп белгілесек, онда бұл теореманың дифференциалдық түрі былай жазылады:

.

Осындай теоремаларды жүйенің барлық нүктелері үшін жазуға болады. Бұл теоремаларды қоссақ, нәтижесінде мына өрнекті аламыз:

немесе (4.3.16) өрнегін ескерсек:

. (4.3.26)

(4.3.26) өрнек жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теореманың дифференциалдық түрі болады.

Жүйенің кинетикалық энергиясы Т₀ –ге тең болатын бастапқы уақыт пен жүйенің кинетикалық энергиясы Т₁ –ге тең болатын шекті уақытты қарастырайық. Жүйе бастапқы орыннан шекті орынға орын ауыстырғанда (4.3.26) өрнегінің екі жағынан да интеграл алсақ, жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теореманың интегралдық (шекті) түрін аламыз:

, (4.3.27)

демек жүйе шекті орын ауыстырғанда оның кинетикалық энергиясының өзгеруі осы орын ауыстыруда жүйеге әсер ететін барлық сыртқы және ішкі күштердің жұмыстарының қосындысына тең.

Екі дербес жағдайды қарастырайық.

1. Өзгермейтін жүйе. Қозғалыс кезінде механикалық жүйенің кез келген екі нүктесінің ара қашықтығы тұрақты болып қалса, онда ол өзгермейтін жүйе деп аталады. Мұндай жүйе үшін барлық ішкі күштердің жұмыстарының қосындысы нөлге тең болғандықтан (4.3.26) және (4.3.27) өрнектері былай жазылады:

, . (4.3.28)

2. Идеал жүйе. Байланыстары уақыт өткен сайын өзгермейтін жүйені қарастырайық. Жүйеге әсер ететін барлық сыртқы және ішкі күштерді актив күштер және байланыс реакциялары деп бөлейік. Сонда (4.3.26) теңдеуін былай жазуға болады:

,

бұл жердегі мен – жүйенің k-нөмірлі нүктесіне түсірілген актив күштер мен реакция күштерінің элементар жұмыстары. Идеал жүйе деп қозғалыс кезінде жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруіне байланыстары әсер етпейтін жүйені айтады. Әрине, мұндай байланыстар үшін мынандай шарт орындалуы керек:

.

Осыған орай, жүйе элементар орын ауыстырғанда барлық реакциялары жұмыстарының қосындысы нөлге тең болатын байланыстар идеал байланыстар деп аталады.

Уақыт өткен сайын идеал байланыстары өзгермейтін механикалық жүйе үшін:

, . (4.3.29)