Жүйенің және қатты дененің кинетикалық энергиясы

Бір нүктенің кинетикалық энергиясы өрнегімен анықталады. Жүйенің кинетикалық энергиясы деп жүйедегі барлық нүктелердің кинетикалық энергияларының қосындысына тең Т скаляр шаманы айтады

. (4.3.16)

Жүйенің кинетикалық энергиясы жүйенің қозғалыс бағытына тәуелді емес, ол жүйенің ілгерілемелі қозғалысын да, айналмалы қозғалысын да сипаттайды.

Көбінесе механикалық жүйе қатты денеден немесе қатты денелердің жиынтығынан тұрады. Осыған байланысты әртүрлі қозғалыстағы қатты дененің кинетикалық энергиясын анықтай білу керек.

1. Қатты дененің ілгерілемелі қозғалысы. Біз мұндай қозғалыстағы дененің барлық нүктелерінің жылдамдықтарының бірдей болатынын кинематикадан білеміз. Демек, кез келген k нүкте үшін , мұндағы – дененің массалар центрінің жылдамдығы. Сонда (4.3.16) өрнегінен:

немесе

(4.3.17)

мұндағы М – дененің массасы.

Сонымен, ілгерілемелі қозғалыстағы қатты дененің кинетикалық энергиясы дененің массасы мен оның массалар центрі жылдамдығы квадратының көбейтіндісінің жартысына тең.

2. Қатты дененің айналмалы қозғалысы. Егер дене қозғалмайтын Oz өсімен айналатын болса (3.31 сурет), онда оның айналу өсінен h_k қашықтықта жатқан кез келген нүктесінің жылдамдығы: . Жылдамдықтың осы мәнін (4.3.16)-ға қойсақ:

.

Жақшаның ішіндегі шама дененің Oz өсіне қатысты инерция моменті. Сондықтан

, (4.3.18)

яғни айналмалы қозғалыстағы дененің кинетикалық энергиясы дененің айналу өсіне қатысты инерция моменті мен бұрыштық жылдамдықтың квадраты көбейтіндісінің жартысына тең.

3. Қатты дененің жазық-параллель қозғалысы. Біз қатты дененің жазық-параллель қозғалысын оның полюспен бірге ілгерілемелі қозғалысы мен жылдамдықтардың лездік центрі арқылы (Р нүктесі) қозғалыс жазықтығына перпендикуляр өтетін өске қатысты айналмалы қозғалысының қосындысы деп қарастыруға болатынын кинематикадан білеміз (3.32 сурет). Демек, (4.3.18) өрнек бойынша:

,

мұндағы – дененің жоғарыда аталған өске қатысты инерция моменті.

Уақыт өткен сайын жылдамдықтардың лездік центрінің орны өзгереді, сондықтан инерция моменті де өзгеретін болады. Массалар центрі денеге қатысты өзінің орнын өзгертпейтін болғандықтан Гюйгенс-Штейнер теоремасын пайдаланамыз:

,

мұндағы . Нәтижесінде мынаны аламыз:

.

Кинематикадан С нүктесінің жылдамдығы белгілі: , яғни . Сонда төмендегі өрнекті аламыз:

. (4.3.19)

Жазық-параллель қозғалыстағы қатты дененің кинетикалық энергиясы оның массалар центрімен бірге ілгерілемелі қозғалысының кинетикалық энергиясы мен центр арқылы қозғалыс жазықтығына перпендикуляр өтетін өске қатысты айналмалы қозғалысының кинетикалық энергиясының қосындысына тең.

Егер жүйе бірнеше денеден тұрса, онда оның Т кинетикалық энергиясы жүйедегі барлық денелердің кинетикалық энергияларының қосындысына тең:

.