Интерполяционный полином в форме Ньютона

Интерполяционный полином в форме Ньютона записывается в виде:

P_N(x) = c₀ + c₁ (x - x₀) + c₂ (x - x₀)(x - x₁) +... +
+ c_N (x - x₀)(x - x₁)·... ·(x - x_N-1)

где коэффициенты c_i находятся из условий (3.1):

f₀=P_N(x₀)=c₀. Cледовательно, c₀=f₀;

...

f_i=P_N(x_i)=c₀ + c₁(x_i - x₀) +... + c_i-1(x_i - x₀)(x_i - x₁)...(x_i - x_i-2) +

+c_i(x_i - x₀)(x_i - x₁)...(x_i - x_i-1).

Следовательно,

Интерполяция с помощью многочлена Лагранжа. Суть метода, формулы, достоинства и недостатки, примеры для двух узлов интерполяции.

Один из подходов к задаче интерполяции — метод Лагранжа. Основная идея этого метода состоит в том, чтобы прежде всего найти многочлен, который принимает значение 1 в одной узловой точке и 0 во всех других. Легко видеть, сто функция

является требуемым многочленом степени n; он равен 1, если x=x_j и 0, когда x=x_i, i¹j. Многочлен L_j(x)×y_j принимает значенияy_i в i-й узловой точке и равен 0 во всех других узлах. Из этого следует, что есть многочлен степени n, проходящий через n+1 точку (x_i, y_i).