Вычисление определителей методом Гаусса

Итак, применим метод Гаусса для вычисления определителя ∆. При решении системы уравнений:

Ax = b

методом Гаусса мы путём преобразования по схеме единственного деления привели её к треугольному виду:

B x = β,
где
Определитель detB = 1.
Элементы матрицы B получились из матрицы A с помощью следующих элементарных преобразований:
1) деления на ведущие элементы a ₁₁ матрицы A, матрицы ,..., матрицы A_n-1.
2) вычитания из строк матрицы A и промежуточных матриц чисел, пропорциональных элементам соответствующих ведущих строк.
При первой операции определитель матрицы также делится на соответствующий ведущий элемент, т.е.
.
Следовательно:
,
т.е. определитель равен произведению ведущих элементов для соответствующей схемы Гаусса.
При второй операции определитель не изменится

.

2222222Требуется найти для исходной матрицы А обратную матрицу А^-1

по методу исключения Гаусса.

Пример 1. Методом исключения Гаусса найдем матрицу, обратную к матрице

Решение:

К матрице А справа приписывается единичная матрица того же порядка (А|E)

Матрица (А|E) приводится элементарными преобразованиями первого и второго типов к ступенчатому виду

Последняя матрица имеет ступенчатый вид

3. Выписывается обратная матрица. Это матрица, стоящая справа в последней преобразованной матрице.

В последней матрице слева стоит единичная матрица E.

Пример 2.

Методом Гаусса найдем матрицу, обратную к матрице

.

Решение:

К матрице А справа приписывается единичная матрица того же порядка (А|E)

Матрица (А|E) приводится элементарными преобразованиями первого и второго типов к ступенчатому виду

поменяем местами вторую и третью строки

Последняя матрица имеет ступенчатый вид.

3. Полученная ступенчатая матрица элементарными преобразованиями 1-го, 2-го и 3-го типов приводится к виду, где слева будет матрица Е. Преобразования начинаются с последней строки.

К элементам второй строки прибавим элементы третьей, умноженные на 4, а к элементам первой строки прибавим элементы третьей, умноженные на 5:

Все элементы второй строки умножим на (-1)

Из элементов первой строки вычитаем элементы второй, умноженные на 2

4. Выписывается обратная матрица. Это матрица, стоящая справа в последней преобразованной матрице.

В последней матрице слева стоит единичная матрица E.