Достоинства и недостатки, примеры. Сравнение методов интегрирования

Формула трапеций.

Соединив отрезками каждые две соседние точки , полученные способом, указанном в конце предыдущего пункта, заменим кривую ломаной . Она сверху ограничивает фигуру, составленную из прямоугольных трапеций, каждая из которых опирается на один из частичных отрезков разбиения. Площадь элементарной криволинейной трапеции с основанием заменим площадью прямоугольной трапеции, ограниченной сверху отрезком . Тогда искомая площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией , будет приближённо равна сумме площадей данных прямоугольных трапеций. Площадь каждой такой трапеции легко подсчитать, используя хорошо известную из школьного курса геометрии формулу: . Сумма таких площадей равна:

.

После очевидных преобразований получим: . Таким образом, имеем следующую приближённую формулу вычисления определённого интеграла:

.

Формула (4) носит название формулы трапеций. Ошибку для метода трапеций можно оценить по формуле:

,

где - наибольшее значение второй производной подынтегральной функции на отрезке интегрирования.

Пример 2. В условиях примера 1 использовать формулу трапеций. Оценить ошибку вычисления; сравнить полученное приближённое значение с точным.

Решение.

Воспользуемся таблицей значений, которую мы применяли в предыдущем примере.

Сразу по формуле (4) получаем:

.

Оценим ошибку вычисления. Имеем . Подставляя в формулу (5), получаем: . Действительно, сравнивая полученное значение с точным, получаем .

Заметим, что данный способ дал нам гораздо более точное приближение, чем используемый в предыдущем примере.