Множества. 1.1.1. Определение понятия «множество»

1.1.1. Определение понятия «множество»

Множество представляет собой некоторый набор определённых элементов, в общем случае неупорядоченных и не образующих последовательности. Множества могут иметь бесконечное и конечное число элементов или не иметь элементов вообще (бесконечное множество – натуральные числа; конечное множество – колода карт).

Множество записывается в следующем виде: А = { X₁, X₂, …, X_к, …, X_n }, где Х_к – элемент множества А.

1.1.2. Соотношения между двумя множествами

Они зависят от того, имеют ли эти множества общие элементы.

Для двух множеств А и В существуют следующие возможности:

1) А и В имеют общие элементы, но каждое из множеств имеет также элементы, не принадлежащие другому множеству. Говорят, что множества пересекаются: А Ç В = С (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Диаграмма Вьенна при пересечении двух множеств

2) А и В не имеют общих элементов (взаимоисключающие множества или непересекающиеся) (рис. 1.2).

Рис.1.2. Диаграмма Вьенна для непересекающихся множеств

3) А целиком включает В (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Диаграмма Вьенна для случая, когда множество А целиком включает В

В этом случае В является подмножеством А.

1.1.3. Операции с множествами

1) Объединение двух множеств – это множество С, которое содержит все элементы, принадлежащих ему множеств (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Диаграмма Вьенна при объединении двух множеств

Математическая запись операции: А È В = С.

2) Пересечение двух множеств (А Ç В = С) – это множество С, которое содержит элементы, являющиеся общими для обоих множеств (рис. 1.5).

Рис.1.5. Диаграмма Вьенна при пересечении двух множеств

3) Разность двух множеств (А – В = С) – это множество С, состоящее из тех элементов А, которые не являются элементами множества В (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Диаграмма Вьенна при разности двух множеств

Следует отметить, что А – В ¹ В – А.

4) Дополнение множества А. Определим множество В как множество всех элементов, рассмотренных в данной ситуации (рис. 1.7). Дополнением множества А называется множество ` A, состоящее из элементов, которые не входят в множество А.

Рис.1.7. Диаграмма Вьенна при разности двух множеств

При этом ` A Ç A = 0 и ` A È A = B.