Статистическая обработка результатов работы невосстанавливаемых объектов. Выбор закона распределения вероятности наработки до отказа

4.2.1. Постановка задачи

По результатам испытаний N невосстанавливаемых одинаковых объектов получена статистическая выборка – массив наработки до отказа каждого из N объектов: T_a = {a ₁ ,a ₂ ,…,a_N}. Выборка характеризует случайную величину – наработку до отказа. Необходимо выбрать закон распределения случайной величины.

4.2.2.Алгоритм обработки результатов экспериментов

А. Формирование статистического ряда.

При большом числе испытываемых объектов получаемый массив наработки T_a = {a ₁ ,a ₂ ,…,a_N} является громоздкой формой записи случайной величины. Для компактности и наглядности выборку следует представить в графическом изображении статистического ряда, которое называется гистограмма наработки до отказа. Для этого необходимо выполнить следующее:

1. Установить интервал наработки [ t _min, t _max] и его длину xt = t _max –– t _min, где t _min и t _max – минимальная и максимальная величины наработки до отказа.

2. Разбить интервал наработки на «k» интервалов (k = 6¸10) равной длины с шагом ∆t:

или .

(4.1)

3. Подсчитать частоту появления отказов:

,

(4.2)

где D n (t_i, t_i+1) – число объектов, отказавших в интервале времени [ t_i, t_i+1 ]. Очевидно, что

.

(4.3)

4. Полученный статистический ряд представить в виде гистограммы, которая строится следующим образом. По оси абсцисс t откладываются интервалы D t, на каждом из которых, как на основании, строится прямоугольник, высота которого пропорциональна (в выбранном масштабе) соответствующей частоте . Возможный вид гистограммы приведен на рис. 4.1.

Рис. 4.1. Гистограмма статистического ряда

Б. Расчет эмпирических функций.

Расчет эмпирических функций включает в себя следующее:

– оценку вероятности отказа:

; ; ; ………………………………………….. ;

(4.4)

– оценку вероятности безотказной работы:

; ………………………. ;

(4.5)

– оценку плотности распределения отказа:

(4.6)

(ее график совпадает по форме с гистограммой, представленной на рис. 4.1, и отличается лишь по масштабу);

– оценку интенсивности отказов:

.

(4.7)

Примеры форм кривых зависимости вероятности безотказной работы , вероятности отказа, и интенсивности отказа приведены на рис. 4.2.

В. Расчет статистических оценок числовых характеристик.

Расчет статистических оценок числовых характеристик включает в себя следующее:

– оценку средней наработки до отказа, которая может быть вычислена двумя способами:

(см. табл. 3.1);

(4.8)

,

(4.9)

где – середина i -го интервала наработки,

;

(4.10)

а)

б)

Рис. 4.2. Графики статистических оценок вероятности безотказной работы , вероятности отказа и интенсивности отказа : а – графики статистических оценок и ; б – графики статистической оценки

– оценку дисперсии наработки до отказа, которая может быть вычислена двумя способами:

;

(4.11)

;

(4.12)

– оценку среднего квадратического отклонения:

.

(4.13)

Г. Выбор закона распределения случайной величины.

Он состоит в подборе аналитической функции, которая лучшим образом с точки зрения исследователя аппроксимирует эмпирические функции надежности. Выбор, в значительной мере процедура неопределенная и во многом субъективная, зависит от формы графиков зависимостей от времени показателей безотказности: вероятности безотказной работы , вероятности отказа , плотности распределения отказов и интенсивности отказов .

Пусть по тем или иным соображениям выбран гипотетический закон распределения, который задан плотностью распределения отказов в следующей форме:

,

(4.14)

где а, b, с – неизвестные параметры распределения. Ими могут быть средняя наработка до отказа , дисперсия наработки до отказа , ее среднее квадратическое отклонение и другие величины.

Требуется подобрать параметры так, чтобы f(t) наилучшим образом сглаживала график . При этом используется следующий прием: параметры а, b, с, … выбираются с таким расчетом, чтобы несколько важнейших числовых характеристик теоретического распределения были равны соответствующим статистическим оценкам. Например, для нормального распределения параметры а и b, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение теоретического распределения принимаются равными оценкам и , т. е. , .

На графике вместе с строится теоретическая зависимость плотности распределения отказов от времени , что позволяет визуально оценить результаты аппроксимации (расхождение между и ). Более точная оценка результатов аппроксимации производится с помощью критерия согласия, который в данной работе не рассматривается.

Пример. При наблюдении за работой 30 однотипных невосстанавливаемых объектов был получен следующий статистический ряд наработок до отказа:

T_a = {20; 21; 23; 23; 27; 29; 30; 34; 36; 39; 42; 47; 49; 49; 52; 57; 58; 61; 67; 72; 75; 84; 90; 97; 108; 117; 129; 153; 175; 220} (ч).

Разбив интервал наработки на k = 10 участков, определить:

1) зависимость от времени показателей безотказности: вероятности безотказной работы , вероятности отказа , плотности распределения отказов и интенсивности отказов ; построить их графики;

2) числовые характеристики: среднюю наработку до отказа , дисперсию наработки до отказа и ее среднее квадратическое отклонение ;

3) закон распределения наработки до отказа.

Дано: , , ч, ч, интервал наработки: xt = 220 – 20 = 200 ч, шаг на интервале: ч.

Найти: 1) ; 2) ; 3) .

Решение: Сначала разбиваем рассматриваемую область полученных наработок до отказа на k = 10 участков (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Разделение интервала наработки на k участков

Date: 2015-07-25; view: 910; Нарушение авторских прав