Дельта-функция

Использование δ-функций, называемых еще и функцией единичного импульса, импульсной функцией, а также функцией Дирака, позволяет определять спектры некоторых неинтегрируемых функций, не удовлетворяющих условиям абсолютной интегрируемости

Определение: δ-функцией называется функция вида

Определим интеграл

Так как по определению δ-функции равны «0» на всей оси Х, кроме точки х=х0, то промежуток интегрирования можно сделть скольугодно малым, лишь бы он включал в себя точку х0. В этом промежутке f(x) = f(x0) и ее можно вынести за знак интегрирования

(фильтрующее свойство δ-функции)

При анализе сигналов системах связи приходится иметь дело с δ-функциями от аргументов частоты ω и времени t, в зависимости от того, в какой области рассматриваются сигналы.

В качестве примера определим спектр δ-функции δ(t-t₀).

Очевидно, что при t=0 спектр S(jω)=1, а при t≠0 модуль спектра по прежнему равен S(jω)=1, а фазы Θ(ω) = - ω t₀. Таким образом δ-функция δ(t-t₀) имеет бесконечный спектр и бесконечно-большую энергию.

Рассмотрим другой пример.

Пусть

(1)

Обратимся к δ-функции

( из 1 примера)

По аналогии можно записать

Отсюда

(2)

Вернемся к (1). На основании (2) имеем

Таким образом, мы получили спектр сигнала с использованием δ-функции. При ω=- ω₀ и ω=+ω₀ спектр представляет собой δ-функцию амплитудой πω₀.

При ω=0 Это спектр постоянного во времени сигнала.

Если проанализировать рассмотренные примеры, то можно сделать очень важный вывод: чем меньше длительность импульса, тем шире его спектр. Под шириной спектра понимается частотный диапазон, в пределах которого модуль спектральной плотности не меньше некоторого заданного уровня. Например, .

Кроме того, произведение ширины спектра импульса на его длительность

есть постоянное число, зависящее только от формы импульса.

Заключение

Сущность спектрального и временного представления сложных колебаний состоит в их рассмотрении как суммы простых гармонических колебаний (гармоник). Каждая гармоника имеет свою частоту, амплитуду, начальную фазу. Совокупность гармоник образует спектр.

Спектр периодических сигналов содержит большое число дискретных составляющих, спектр непериодического сигнала сплошной. Амплитуды спектров описываются функцией вида .

Спектр сигнала характеризует распределение энергии сигнала по различным частотам. Свойства спектров сигнала необходимо учитывать для обеспечения не искаженной передачи информации.

Разработал

Доктор технических наук, профессор

А. Привалов

«» августа 2011 года