Распределение энергии в спектре непериодического сигнала

(изменение порядка интегрирования)

(Спектр, взятый при отрицательном аргументе представляет собой комплексно-сопряженную величину).

Следовательно,

так как квадрат модуля является четной функцией переменной интегрирования ω, то

Полученное равенство называется равенством Парсеваля, имеет большое значение для анализа свойств электрических сигналов и устанавливает ызаимосвязь между энергией сигнала (при сопротивлении 1 Ом) и модулем его спектральной плотности.

Между средней мощностью периодического сигнала и полученным соотношением имеется существенное различие. Операция усреднения осуществлялась нами делением отрезка сигнала за один период на величину Т. В случае же непериодического сигнала конечной длительности усреднение энергии за бесконечно большой период дает ноль и, следовательно, средняя мощность такого сигнала равна нулю.

Из равенства Парсеваля видно, что величина S|w|², имеющая смысл энергии, приходящейся на единицу полосы частот, может рассматриваться как спектральная плотность энергии сигнала.