Второй признак параллельности прямых

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Имеем: а, b, с – прямые; с – секущая, .

Рис. 6

Доказательство:

Значит, .

Применим первый признак параллельности прямых и получим, что .

Третий признак параллельности прямых

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Имеем: а, b, с – прямые; с – секущая, (Рис. 7).

Рис. 7

Доказательство:

Значит, .

Применим первый признак параллельности прямых и получим, что .

Билет4

Одна из основных задач исследования функции — это нахождение промежутков ее возрастания и убывания. Такое исследование легко провести с помощью производной. Сформулируем соответствующие утверждения.

Достаточный признак возрастания функции. Если f’(х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I. Достаточный признак убывания функции. Если f’(х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

Исследование функции:

1. Найти область определения функции

2. Выяснить, является ли функция четной или нечетной, является ли периодической.

3. Найти точки пересичения с осями координат

4. Найти промежутки знакопостоянства

5. Найти промежутки воз и убыв.

6. Точки эстремума и значения функции в этих точках

7. Исследовать поведение функции в окрестностях «особых» точек.

Прямая, перпендикулярная к плоскости Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой на этой плоскости. Для обозначения перпендикулярности используется знак ┴.

Теорема о двух параллельных прямых и плоскости Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Теорема о двух прямых, перпендикулярных к плоскости Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельно друг другу

. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. Пусть b┴q; b┴p; p a; q a; p ∩ q=O. Докажем, что b┴a. Для этого нужно доказать, что прямая b перпендикулярна к любой (произвольной) прямой m на плоскости a. Рассмотрим сначала случай, когда прямая b проходит через точку пересечения О. Проведем через точку О прямую l, параллельную прямой m. Отметим на прямой b точки А и В, равноудаленные от точки O, и проведем в плоскости a прямую, пересекающую прямые p, l и q соответственно в точках P, L и Q. Так как прямые p и q – серединные перпендикуляры, то АР=ВР и AQ=BQ. Следовательно, ∆APQ=∆BPQ (по трем сторонам). Тогда APL= BPL и ∆ APL= ∆ BPL (по двум сторонам и углу). Тогда AL=BL. Следовательно, ∆ALB – равнобедренный, отрезок LO является медианой и высотой в этом треугольнике, AОL=900 и b┴l. Поскольку l || m, то b┴m (по лемме о перпендикулярных прямых), то есть b┴a.

Плоскость, перпендикулярная прямой Теорема Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой и притом только одна. Обозначим данную прямую буквой а, а произвольную точку пространства – буквой М. 1. Докажем существование плоскости, перпендикулярной прямой а и проходящей через точку М. Проведем через прямую а две плоскости и так, чтобы плоскость проходила через точку М.. В плоскости проведем через точку М прямую р, перпендикулярную прямой а и пересекающую ее в точке А. В плоскости проведем прямую q, перпендикулярную прямой а и проходящую через точку А. Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые p и q. Эта плоскость перпендикулярна прямой а (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости) и проходит через произвольную точку М. Следовательно, это искомая плоскость. Существование доказано.

Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная данной плоскости и притом только одна. Обозначим данную плоскость буквой a, а произвольную точку пространства – буквой М. 1. Докажем существование прямой, перпендикулярной плоскости и проходящей через точку М. Проведем в плоскости прямую b. Через точку М проведем плоскость, перпендикулярную прямой b (это мы можем сделать на основании предыдущей теоремы о плоскости перпендикулярной прямой). Пусть с –общая прямая плоскостей и. Проведем в плоскости через точку М прямую а, перпендикулярную прямой с. Тогда прямая а перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости. Следовательно, прямая а перпендикулярна плоскости a (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Следовательно, а - искомая прямая. Существование доказано.

Date: 2015-07-24; view: 705; Нарушение авторских прав