Бірқалыпты жинақтылық

1º. Айталық, ─ (11.13) функционалды қатардың (11.14) – дербес қосындыларынан құралған функция тізбегі болсын. Егер үшін функциялар тізбегі өзінің шегі болатын функциясына бірқалыпты жинақты болса, онда (11.13) функционалды қатар өзінің қосындысы болатын функциясына бірқалыпты жинақты деп аталады.

2º. Егер саны үшін, тек қана -нан тәуелді ( -тен тәуелсіз) болатын нөмірі табылып, нөмірлері үшін

(11.19)

ара қатынасы орындалатын болса, онда функционалды қатар бірқалыпты жинақты деп аталады.

М. 14.^* . Қатардың кесіндісінде бірқалыпты жинақты болатындығын дәлелдейік.

Шешуі. Қалдық қатардың модулінің бағасын тексерейік

.

Мұндағы модуль астындағы шама: біріншіден таңбалары алма-кезек ауысатын Лейбниц қатары; екіншіден, оның қосындысы бірінші мүшесінен аспайды, яғни ,

.

Сонымен, үшін нөмірі табылып, , үшін ара қатынасы орындалады. Ендеше, бірқалыпты жинақтылық анықтамасы бойынша функционалды қатары кесіндісінде бірқалыпты жинақты.

3. Бірқалыпты жинақтылық белгілері. 1º. 11.13 Теорема (Коши критерийі). Берілген қатарының аймағының бірқалыпты жинақты болуы үшін, үшін номері табылып, және үшін

(11.20)

ара қатынасының орындалуы, қажетті және жеткілікті.

2º. 11.14 Теорема (Вейерштрасс). Егер функционалды қатарының әрбір мүшелері үшін

(11.21)

ара қатанасы орындалатын (мұндағы жинақты сандық қатардың жалпы мүшесі) болса, онда қатары аймағында бірқалыпты және абсолютті жинақты.

11.15 Теорема (Абель). Егер:

(11.22)

функционалды қатар үшін: біріншіден, қатарына сәйкес алынған - дербес қосындылар тізбегі аймағына бірқалыпты шектелген ; екіншіден, функциялар тізбегі монотонды кемімелі яғни бірқалыпты нөлге ұмтылатын болса, онда (11.22) қатар аймағына бірқалыпты жинақты болады.

М.15*. a) (11.23)

ә) (11.24)

қатарларын бірқалыпты жинақтылыққа зерттейік.

Шешуі. Бұл екі қатарды бірқалыпты жинақтылыққа зерттеу жолы бірдей. Сондықтан да, бірінші қатар үшін толық берсек жеткілікті. Сонымен, бірінші қатардағы қатарына, сәйкес етіп қатарын қарастырайық, Онда n -дербес қосынды,

(*)

түрін қабылдайды. Бұл теңдіктің екі жағында өрнегіне көбейтіп, түрлендірейік.

Бұдан

(**)

болып шығады. Демек, (**) теңдіктен, функциясының нүктесінде анықталмағандықтығын көруге болады. Ендеше, санын белгілеп (бекітіп) алып, -ті кесіндісінде қарастырайық. Онда болады да, дербес қосынды кесіндісінде шектелген болып шығады. Ал, тізбегі -тен тәуелсіз, әрі -да бірқалыпты нөлге ұмтылады. Онда қарастырып отырған (11.23) қатар саны және үшін, Абель белгісі бойынша, бірқалыпты жинақты. Ендеше, бұдан (11.23) қатардың аралығындағы нүктелік жинақтылығы шығады. Ал болғанда - жинақсыз гармоникалық қатар (11.23) функционалды қатары, нүктелерінен басқа, сандар өсінің барлық нүктелерінде жинақты.

Дәл осы сияқты, (11.24) қатар үшін

(***)

теңдігі алынып, кесіндісінде бағасын аламыз, яғни қатары үшін алынған дербес қосынды шектелген. Демек, (11.24) функционалды қатарда, , кесіндісінде бірқалыпты жинақты.