Функционалды қатарлар

1. Жинақталу аймағы. нүктесінде (11.13) функционалды

қатар - сандық қатарға айналады. Егер, алынған сандық қатар жинақты болса, онда функционалды қатар нүктесінде жинақты деп аталады. Ал функционалды қатар жиынының барлық нүктесінде жинақты болса, онда қатар жиынында жинақты деп аталады, Өз кезегінде, функционалды қатар жинақты болатын жиын - қатардың жинақталу аймағы деп аталады.

Функционалды қатардың қосындысы деп,

(11.16)

нүктесінде анықталған ақырлы функцияны айтады. Онда жинақты функционалды қатар үшін

(11.17)

теңдігі орындалады. Мұндағы .

Егер қатары жинақты болса, онда қатары абсолютті жинақты деп аталады.

; (11.18)

болса, функционалдық қатардың абсолютті жинақты болатын аймақ үшін , ал жинақсыз болатын аймақ үшін ара қатынастарын қанағаттандыратын мәндерінің жиыны алынады,

М. 11.^* а) , ә) , б) , в) функционалдық қатарларының жинақталу аймағын табайық,

Шешуі, а) Коши белгісі бойынша,

,

Демек, болғанда қатар абсолютті жинақты ал қатар жинақсыз, Енді болғандықтан, және шеткі нүктелеріндегі қатардың тәртібін тексеруге міндетіміз, Сондықтан,

1º, ─Лейбниц қатары – жинақты;

2º, ─ гармоникалық қатар – жинақсыз,

Ендеше, қатарының жинақталу аймағы ,

ә) Д’Аламбер белгісін пайдаланайық,

,

Берілген функционалдық қатардың абсолютті жинақты аймағы ара қатынасын қанағаттандыратын мәндер жиынтығы, Сонымен,

аралығында қатар абсолютті жинақты,

Ал,

аралығында функционалдық қатар жинақсыз,

Біздің ендігі мақсатымыз: және нүктелеріндегі қатардың тәртібін тексеру,

1º. - жинақсыз;

2º. - жинақсыз.

Сонымен, қарастырылған қатардың абсолютті жинақталу аймағы ,

Соңғы екі қатарды салыстыру белгісі бойынша зерттейік

б) - жинақты бигармоникалық қатар, ендеше қатар жинақты.

в) - жинақсыз гармоникалық қатар, демек берілген сандық қатар жинақсыз.

М.13.^* , Функционалды қатардың қосындысын есептейік.

Шешуі. Айталық, - берілген қатардың қосындысы болсын, Әрине болатындығы анық. Ал болғанда, қатар айырымы болатын шексіз кемімелі геометриялық прогрессия және қосындысы

,

Сонымен, берілген қатардың қосындысы:

Демек, берілген қатардың әрбір мүшесі кесіндісінде үзіліссіз функциялары болғанымен, олардың қосындысы болатын - үзілісті функция болып шықты,