Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
К каноническому виду
По виду общего уравнения трудно определить тип линии второго порядка. Для этого общее уравнение линии второго порядка надо привести к каноническому виду. Это делают с помощью преобразования прямоугольной декартовой системы координат , в которой дано общее уравнение (43) линии. С помощью поворота координатных векторов и переноса начала получают каноническую систему координат , в которой уравнение данной линии второго порядка имеет канонический вид. Итак, пусть линия второго порядка задана в системе общим уравнением . Если , то приведение общего уравнения линии к каноническому виду происходит в два этапа: I этап. С помощью поворота координатных векторов освобождаются от члена, содержащего произведение . Угол поворота находят следующим образом: Тогда координаты координатных векторов и в системе будут находиться так: . (44) Записываем формулы поворота координатных векторов на угол : (45) Подставляем и из формул (45) в общее уравнение линии . После преобразований исчезает член . Получаем уравнение линии в промежуточной системе координат . II этап. Выделяем полные квадраты при и и совершаем перенос начала в точку по формулам (46) Координаты точки вычислены в системе . Подставляем из формул (46) в уравнение линии в системе . После преобразований получаем каноническое уравнение линии в новой системе и определяем ее вид. Строим старую систему координат , промежуточную , новую и линию по ее каноническому уравнению в системе . Замечание 1. При переходе ко II этапу возможны следующие случаи: 1.Уравнение содержит переменные и во второй степени. Тогда выделяются полные квадраты при и . В результате может получиться каноническое уравнение эллипса, гиперболы, мнимого эллипса, пары пересекающихся прямых или пары мнимых пересекающихся прямых. 2. Уравнение содержит только одну переменную во второй степени, а другую – только в первой. Тогда после выделения полного квадрата при той переменной, которая стоит во второй степени, с помощью переноса начала освобождаются от свободного члена. В результате получится каноническое уравнение параболы. 3. Уравнение содержит только одну переменную и в первой, и во второй степени, другая переменная отсутствует. Выделяем полный квадрат и получаем каноническое уравнение пары параллельных прямых, пары мнимых параллельных прямых или пары совпавших прямых. Замечание 2. Если в общем уравнении линии , то приведение общего уравнения к каноническому виду начинают сразу со II этапа. Рассмотрим конкретный пример. Задача. Привести общее уравнение линии к каноническому виду, определить вид линии и построить ее изображение. Решение. I этап. Из общего уравнения линии находим . Найдем угол поворота координатных осей: Находим координаты координатных векторов и в системе координат : Записываем формулы поворота координатных векторов на угол : Подставляем и из полученных формул в общее уравнение линии : После приведения подобных получаем уравнение линии в системе координат : . II этап. Найдем формулы переноса начала координат. Для этого выделим полные квадраты при и : Положим
тогда получаем формулы переноса начала: При этом точка переходит в точку , координаты которой найдены в системе . Линия в системе будет иметь уравнение . Приведем это уравнение к каноническому виду: . Следовательно, - гипербола с мнимой осью . Последовательность построения изображения гиперболы такова: а) Строим старую систему координат . б) Строим промежуточную систему координат . При этом чтобы точно совершить поворот координатных векторов и на угол , построим сначала вспомогательные векторы и , которые будут коллинеарны векторам и соответственно (на чертеже эти векторы не показаны, а построены лишь их концы – точки с координатами и (рис. 98). Тогда единичные векторы и будут сонаправлены с векторами и , а оси координат и пройдут через точку и точки и соответственно (рис. 98). в) Строим новую систему координат . г) Строим линию по ее каноническому уравнению в системе координат (рис. 99).
|