Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Свойства эллипсаСтр 1 из 7Следующая ⇒ Линии второго порядка Лекция 14 Эллипс. Гипербола. Парабола
Эллипс
Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых до данных точек и равна длине данного отрезка , где . Коротко можно записать определение эллипса так: . (37) Точки и называются фокусами эллипса, а расстояние между ними - фокальным расстоянием. Если - точка данного эллипса, то отрезки и (а также их длины) называются фокальными радиусами точки . Пусть на плоскости даны две различные точки и . Обозначим через середину отрезка . Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат , где (рис. 86). Выведем уравнение эллипса с фокусами и в системе координат . Пусть . Замечание. Так как , то для эллипса всегда , т.е. . Пусть . Так как в , то . По определению эллипса . Преобразуем это уравнение: ; ; ; ; ; ; . Возведем обе части последнего уравнения в квадрат: ; ; . Разделим обе части этого уравнения на : . Так как для эллипса , то . Положим . Тогда , где . (38) Итак, доказано, что если , то координаты точки удовлетворяют уравнению (38). Докажем, что если координаты точки удовлетворяют уравнению (38), то она принадлежит эллипсу . Пусть , где , - координаты точки . Найдем . Выразим из уравнения : . Тогда, учитывая, что , получим: . и и и . Из условия (37) следует, что . Итак, уравнение (38) есть уравнение эллипса. Оно называется каноническим уравнением эллипса. Если , то , т.е. - уравнение окружности радиуса . Пользуясь каноническим уравнением эллипса, докажем геометрические свойства эллипса, которые понадобятся для построения изображения эллипса.
Свойства эллипса 1°. Из уравнения (38) следует, что , . Следовательно, все точки эллипса принадлежат прямоугольнику, центр которого находится в точке , стороны параллельны осям и и равны соответственно и (рис. 87). 2°. Симметрия относительно начала координат и осей координат. Пусть и . Из первого тождества следует, что , из второго – что , из третьего – что , а это означает, что эллипс симметричен относительно начала координат, оси и оси соответственно. Таким образом, точка является центром симметрии, оси и - осями симметрии эллипса . Прямая, проходящая через фокусы, называется первой (фокальной) осью симметрии, а перпендикулярная к ней ось – второй осью симметрии эллипса. 3°. Точки пересечения эллипса с осями симметрии. Чтобы найти точки пересечения эллипса с осью , надо решить систему их уравнений: Решая систему, получаем: . Аналогично находим, что . Точки пересечения эллипса со своими осями симметрии называются вершинами эллипса. Таким образом, эллипс имеет четыре вершины. Отрезки и называются соответственно большой и малой «осями» эллипса, а положительные числа и - большой и малой «полуосями» эллипса. 4°. Выясним, как выглядит часть эллипса, расположенная в первой координатной четверти. Возьмем в первой координатной четверти произвольную точку , тогда . Следовательно, функция монотонно убывает от до 0, если возрастает от 0 до . Учитывая свойства 1°- 4°, построим изображение эллипса (рис. 88):
Число называется эксцентриситетом эллипса. Так как для эллипса , то . У окружности . При уменьшается «высота» эллипса. Директрисами эллипса называются две прямые, параллельные второй оси и отстоящие от нее на расстоянии . Уравнения директрис: или ; или (рис. 89). У окружности , следовательно, она не имеет директрис. Эллипс обладает следующим директориальным свойством: для любой точки , принадлежащей эллипсу, отношение расстояния от до фокуса к расстоянию от до соответствующей директрисы равно эксцентриситету, т.е. (рис. 89).
Замечание 2. Директрисы эллипса не имеют общих точек с эллипсом.
|