Понятие о классификации линий второго порядка

Уравнение

, (43)

где не равны нулю одновременно, называется общим уравнением линии второго порядка.

Пусть линия второго порядка в прямоугольной декартовой системе координат задана уравнением (43).

Идея классификации линий второго порядка заключается в том, чтобы путем надлежащего выбора новой прямоугольной декартовой системы координат упростить уравнение линии, а затем по этому уравнению установить, к какому классу принадлежит линия.

Справедлива

Теорема 1 (основная теорема о линиях второго порядка). Существует девять типов линий второго порядка: эллипс; гипербола; парабола; мнимый эллипс; пара пересекающихся прямых; пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке; пара параллельных прямых; пара мнимых параллельных прямых; пара совпавших прямых.

В следующей таблице приведены канонические уравнения этих линий:

Название линии второго порядка	Каноническое уравнение
1. Эллипс   2. Гипербола   3. Парабола   4. Мнимый эллипс   5. Пара пересекающихся прямых   6. Пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке 7. Пара параллельных прямых 8. Пара мнимых параллельных прямых 9. Пара совпавших прямых	или или   или или или