Тема 1.3. Общее исследование систем линейных алгебраических уравнений

При решении систем линейных алгебраических уравнений довольно часто может оказаться, что определитель матрицы коэффициентов системы превращается в нуль или число уравнений не равняется числу неизвестных, то есть. В связи с отмеченным, необходимо заметить, что решение любой системы линейных алгебраических уравнений должно начинаться из выяснения вопроса о ее совместности. Итак, решению системы уравнений должны предшествовать исследования, которые проводятся по такой схеме:

1. Исследовать, является исходная система уравнений совместной или несовместной (то есть, имеет ли исходная система решения вообще).

2. Если исходная система совместная, то необходимо исследовать, имеет такая система единственное решение или их бесчисленное множество.

3. Если система совместная и имеет единственное решение, то определить его известными методами.

4. Если совместная система имеет бесчисленное множество решений, то необходимо описать всю совокупность решений.

Пусть задан общий вид системы линейных алгебраических уравнений с неизвестными

(1.4)

Вопрос о совместности СЛАУ определяется теоремой Кронекера–Капелли. В отличие от теоремы Крамера, эта теорема не является конструктивной, поскольку она не дает соотношений для определения корней системы уравнений. Тем не менее, она имеет очень важное практическое значение.

Теорема Кронекера‑ Капелли. Система линейных алгебраических уравнений (1.4) совместная тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов систем уравнений равняется рангу расширенной матрицы:.

Доказательство