Обратная матрица

Одно из важнейших свойств умножения чисел состоит в том, что для каждого числа , отличного от нуля, существует обратное такое, что

.

Оказывается, что нечто подобное имеет место и для матриц, причем роль условия играет условие, состоящее в том, что определитель матрицы отличен от нуля.

Определение 1.13. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю . В противном случае матрица называется вырожденной.

Определение 1.14. Матрица называется обратной по отношению к матрице , если выполняется соотношение:

.

Условие существования обратной матрицы сформулируем в виде теоремы.

Теорема 1.1. Для того, чтобы квадратная матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Обратная матрица находится по следующей схеме:

1. Вычисляется определитель исходной квадратной матрицы -го порядка.

2. Формируется матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов исходной квадратной матрицы . Такая матрица называется союзной по отношению к матрице и обозначается :

.

3. Транспонируют союзную матрицу, определяя тем самым так называемую присоединенную матрицу. Такая матрица обозначается и выглядит следующим образом:

.

4. Обратная матрица по отношению к матрице находится по формуле:

.

Задача 1.3. Дана матрица . Найти обратную матрицу по отношению к заданной.

Вычислим определитель матрицы .

.

Матрица невырождена, следовательно, обратная матрица существует.

Найдем алгебраические дополнения элементов определителя.

; ; ;

; ; ;

; ; .

Формируем союзную матрицу

.

Определим присоединенную матрицу

.

Найдем обратную матрицу по отношению к матрице :

.