Правило Крамера

Теорема 1.6. Если определитель системы отличен от нуля (т. е. r(A) = n), то система совместна и имеет единственное решение, которое определяется по формулам:

(j = 1, 2,..., n), (1.3)

где есть определитель, полученный из определителя системы заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Формулы (1.3) называются формулами Крамера.

Доказательство

Поскольку , матрица А коэффициентов системы невырожденная и имеет обратную матрицу А^-1, причем А^-1 является единственной.

Умножим левую и правую части системы АX = B на А^-1

слева. Получим А^-1АX = А^-1-B, откуда EX= А^-1B и, окончательно,

X= А^-1B (1.4)

Решение (1.4) – единственное решение СЛАУ в силу единственности существования обратной матрицы.

Запишем равенство (1.4) в координатной форме:

Выражение b₁A_1j + b₂A_2j +...+ b_nA_nj есть разложение определителя по элементам j-го столбца (теорема Лапласа).

Таким образом, (j = 1, 2,..., n).

Задача 1.6. Решить СЛАУ

Решение

Найдем определитель системы

, следовательно, система совместна и имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера. Вычислим вспомогательные определители:

Тогда решение СЛАУ

; ;