Показательная форма записи комплексного числа

Пусть – действительное число. Полагаем

(1)

Эта формула называется формулой Л. Эйлера. Она не доказывается, а принимается в качестве определения символа Такое определение оправдано тем, что сохраняются основные свойства действительных показателей. Здесь е – основание натуральных логарифмов, . Для любого комплексного числа вновь полагаем:

(2)

Эта формула не приведет к противоречию в случае, когда z – действительное число, со свойствами возведения действительного числа в действительную степень.

Основные свойства возведения в комплексную степень:

1)

2)

3)

С помощью формулы Эйлера комплексное число можно записать в показательной форме:

(3)

где r – модуль числа z, а – его аргумент. При этом формула Муавра принимает вид:

Корни п -ой степени из числа z получают вид:

Замена на в формуле Эйлера дает формулу:

Отсюда легко получаем

Пример. Выразить через косинусы углов кратных а) б)

Решение: а)

б)

Date: 2015-07-02; view: 552; Нарушение авторских прав