Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Определение комплексных чисел





КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

 

Понятие комплексного числа возникло в связи с необходимостью решать квадратные уравнения при любых значениях дискриминанта, в том числе и отрицательных (XVIв.):

x 2+4 x +13=0 D 1= 4 -13=-9.

При этом возникает необходимость расширения понятия числа, необходимость введения чисел более общей природы. Действительно числа уже будут частным случаем этих «новых» чисел.

Комплексным числом называется выражение z =x+iy, где x и y – действительные числа, а i – символ, который называется мнимой единицей: i 2 = -1.

Корни приведенного уравнения можно записать в виде

z 1 = (2+3 i), z 2 = (2-3 i).

Числа х и y называются, соответственно, действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются символами:

x = Re z, y = Im z

Если y = 0, z = x + i 0 считается совпадающим с действительным числом x. Если x = 0, то z = 0 + i y обозначается просто i y и называется чисто мнимым числом.

Выберем на плоскости декартову прямоугольную систему координат и будем рассматривать упорядоченную пару чисел (x,y) как координаты точек этой плоскости.

Тогда каждому числу z = x + iy будет отвечать определённая точка z (x,y) плоскости и, наоборот, каждой точке плоскости будет отвечать определённое число z = x + iy.

Таким образом, между множеством комплексных чисел и множеством точек плоскости Оху существует взаимно однозначное соответствие.

 

Плоскость Оху называется плоскостью комплексных чисел (z). Действительные числа изображаются при этом точками оси .

Ось называется действительной осью.

 

 

Рис.1.

Чисто мнимые числа z = iy изображаются точками на оси , которая называется мнимой осью.

 

Три формы записи комплексного числа

1. Алгебраическая форма:

z = x + iy. (1)

Два комплексных числа z 1 = x 1 + iy 1 и z 2 = x 2 + iy 2 равны друг другу (z 1 = z 2) тогда и только тогда, когда

x 1 = x 2, и y 1 = y 2

Если x 2 = x 1, а y 2 = - y 1, то комплексные числа z1 = z2 называются взаимно сопряжёнными:

z = x + iy, = xi y.

Точки z (x,y) и z (x,-y) симметричны относительно действительной оси .

2. Тригонометрическая форма.

 

Введём в рассмотрение радиус-вектор точки z и угол φ, образованный им с положительным направлением оси . (рис.1).

Величины r и φ называются, соответственно, модулем и аргументом комплексного числа z и обозначаются символами:

r = | z |; φ = Arg z.

Модуль комплексного числа определяется однозначно формулой (из треугольника, рис 1);

r = | r |

Все значения аргумента φ удовлетворяют соотношению

Угол φ называется аргументом комплексного числа z:

Аргумент определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного 2 π. Если z =0, то аргумент произволен.

Наименьшее по модулю значение аргумента Arg z называется его главным значением:

или

Главное значение аргумента определяется однозначно. Очевидно:

Из треугольника: x = cos φ и y = sin φ. Поэтому любое комплексное число можно записать в тригонометрической форме:

или ( = r)

(2)

Два комплексных числа z 1 и z 2 равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы равны или отличаются на 2 кπ:

;

Для перехода от алгебраической формы (1) к тригонометрической (2) пользуются равенствами:

; ..

 

Примеры: Записать комплексные числа в тригонометрическом виде

 

Рис.2.

 

3. Показательная форма.

Рассмотрим показательную функцию с мнимым показателем . Положим по определению:

= cos φ - i - (формула Эйлера) (3)

Вывод этой формулы содержится в теории рядов. С её помощью от тригонометрической формы (2) записи комплексного числа можно перейти к показательной:

(4)

Примеры: Записать комплексные числа в показательной форме.

Правая часть формулы (3) есть комплексное число с модулем, равным 1:

 
(5)

i
у
х
 
 
Значит, равенство (5) на плоскости (z) определяет окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

 

Рис. 3.

При φ =0 z = =1; при φ=π /2 z= = I и т.д.

Таким образом, при изменении φ от 0 до 2 π точки z = опишет окружность единичного радиуса против часовой стрелки.

В отличии от функции , функция периодическая с периодом T = 2 π.

Date: 2015-07-02; view: 516; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.005 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию