Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Формула Муавра





 

Для того чтобы перемножить n комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы: если 1, 2, ..., n – аргументы чисел z1, z2, ..., zn, то

В частности, если все эти числа равны между собой, то получим формулу, позволяющую возводить комплексное число в любую натуральную степень.

Найдем квадрат комплексного числа z = r(cos + i sin ), т.е. результат произведения этого числа на само себя: z2 = z∙z = r(cos + i sin )∙r(cos + i sin ) = r2(cos + i sin )2 = r2(cos 2 + i sin 2 ).

Повторяя n раз операцию возведения в степень числа z, мы получим формулу n-ой степени числа z:

zn = rn(cos n + i sin n ),где n – натуральное число.

Методом математической индукции можно доказать эту формулу. Она представляет собой обобщение формулы, открытой Муавром. Муавр открыл ее для случая, когда модуль комплексного числа z равен 1. Формула Муавра имеет вид:(cos + i sin )n = cos n + i sin n , где n N.

С помощью формулы Муавра можно вывести многие полезные соотношения, в частности, между тригонометрическими выражениями.

Формула Муавра позволяет найти значения корней любой (n-й) степени в поле комплексных чисел.

Под корнем n-й степени из числа z понимают такое число a, n-я степень которого равна z: an = z.

 

Первая формула Муавра:

 

Пример.Вычислить z4, если z = 1- i.

 

Решение: Как было найдено в примере п.2. §3, данное число в тригонометрической форме имеет вид

По первой формуле Муавра получаем:

 

Число z называется корнем степени n, n N из комплексного числа w, если zn = w. Корень степени n обозначается z= . Пусть теперь число w фиксировано. Найдём z из уравнения zn = w.

Если w = 0, то у уравнения zn=0существует единственное решение z = 0.

Если w ≠ 0, то положим, что нам известно тригонометрическое представление числа w = r0(cos 0 + i sin 0), и будем искать число z также в тригонометрической форме: z = r(cos + i sin ). Из определения аргумента и геометрической интерпретации комплексных чисел следует, что два комплексных числа, записанных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на угол, кратный 2π. Имеем: zn = w, rn(cos n + i sin n )= r0(cos 0 + i sin 0), где откуда получается:



Итак, все решения уравнения zn = w задаются формулой

 

Заметим, что если в эту формулу подставлять натуральные числа k, то при k = 0, 1, ..., n-1 мы будем получать разные комплексные числа, а при k = n имеем:

Значит, и в дальнейшем значения корней будут повторяться. Следовательно, существует ровно n корней уравнения zn = w и все они задаются одной формулой.

 

Вторая формула Муавра:

 

Пример. Найти .

Решение: Представим число –1 в тригонометрической форме:

По второй формуле Муавра получаем:

Получаем последовательно:

 

 






Date: 2015-07-02; view: 5004; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2019 year. (0.005 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию