Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Поле комплексных чиселВо множестве рациональных чисел неразрешимо уравнение x 2+1=0, поэтому возникает необходимость расширить множество рациональных чисел так, чтобы в новом множестве данное уравнение было бы разрешимо. Пусть ℂ=ℝ×ℝ={(a,b)| a,b ∈ℝ} Определение 1. Элементы (a,b) и (c,d) ∈ℂ называются равными, если а = с и b = d. Определение 2. Суммой элементов (a,b) и (c,d) ∈ℂ, называется упорядоченная пара т. е. (1). Произведением элементов (a,b) и (c,d) ∈ℂ, называется упорядоченная пара , т. е. (2). Теорема 1. Множество ℂ с заданными на нем операциями «+» и «⋅» по правилам и , является полем. Доказательство. Из определений следует что заданные на ℂ операции «+» и «⋅» являются алгебраическими, так как ∀(a,b) и (c,d) ∈ℂ, ∈ℂ, ∈ℂ. I. Покажем что <ℂ,+> абелева группа. 1), 4) Т.к. сложение элементов из ℂ сводится сложению действительных чисел, а на множестве действительных чисел операция “+” ассоциативна и коммутативна, то операция “+”ассоциативна и коммутативна на ℂ. 2) ∃Ө=(0,0) ∈ℂ такое что ∀(a, b)∈ℂ выполняется: (a, b)+Ө=(a +0, b +0)=(a, b) 3 ) ∀ (a,b) ∈ℂ ∃ (-a,-b) ∈ℂ, такое что (a,b)+ (-a,-b) =(a-a, b-b)= (0,0)= Ө Из пунктов 1)-4) следует что <ℂ,+> абелева группа. II. Проверим, что в ℂ выполняются дистрибутивные законы 5) ∀ (a1,b1), (a2,b2), (a3,b3) ∈ℂ [(a1,b1)+(a2,b2)] (a3,b3)=(a1+a2,b1+b2 )⋅(a3,b3)= (a1,b1)⋅(a3,b3)+(a2,b2)⋅(a3,b3)=(a1a3-b1b3, a1b3+b1a3)+(a2a3-b2b3, a2b3+b2a3)= (a1a3+a2 a3-b1b3-b2b3, a1b3+b1a3+a2b3+b2a3) (4) Элементы (3) и (4) равны, значит, правый дистрибутивный закон выполняется. Справедливость левого дистрибутивного закона на ℂ следует из коммутативности операции «⋅», см далее аксиому 6). III. Покажем, что <ℂ#,⋅> - абелева группа. 6) Покажем что операция «⋅» коммутативна на ℂ. ∀ (a1,b1), (a2,b2) ∈ℂ (a1,b1)⋅(a2,b2)=(a1a2-b1b2,a1b2+a2b1) (5) (a2,b2)⋅(a1,b1) =(a2a1-b2b1, a2b1+a1b2) (6) (5)=(6), поскольку умножение действительных чисел коммутативно. Следовательно операция «⋅» коммутативна на ℂ. 7) Покажем, что «⋅» ассоциативна на ℂ# , ∀ (a1,b1), (a2,b2), (a3,b3) ∈ℂ # [(a1,b1)⋅(a2,b2)]⋅(a3,b3) = (a1a2-b1b2,a1b2+a2b1)⋅(a3,b3)=((a1a2-b1b2)a3 - (a1b2+a2b1)b3, (a1a2-b1b2)b3+(a1b2+a2b1)a3) (7) (a1,b1)⋅[(a2,b2)⋅(a3,b3)]=(a1,b1)(a2 a3 - b2 b3 , a2 b3+b2 a3)= (7)=(8) в силу дистрибутивных и коммутативных законов на множестве действительных чисел. Следовательно «⋅» ассоциативна на ℂ#. 8) Существование нейтрального элемента относительно операции «⋅», т.е.∃ e =(1,0) ∈ℂ#, такой что ∀(a, b) ℂ# выполняется: (a, b)(1,0)=(a⋅ 1- b⋅ 0, a⋅ 0+ b⋅ 1)=(a, b) 9) Существование обратного элемента относительно операции «⋅» на ℂ#, т.е. ∀(a, b) ℂ# ∃(c, d) ∈ℂ#, найдем неизвестные с и d. (a, b)(c, d)=(1,0) (ac - bd, ad + bc)=(1,0) (по определению равенства элементов) , . Вычитая уравнения почленно, получим - b2d-a2d=b;-d(a2+b2)=b; ∈ℝ. Аналогично, исключая неизвестную d, получим ∈ℝ. Таким образом ∀(a, b) ∈ℂ# существует обратный элемент (, )∈ℂ# Из пунктов 6)-9) следует что <ℂ#,⋅> - абелева группа. Из пунктов I-III следует, что ℂ- поле. Определение 3. Множество ℂ с заданными на нем операциями «+» и «⋅» по правилам (1) и (2) называется полем комплексных чисел, а его элементы называются комплексными числами. Теорема 2. Множество рациональных чисел является подмножеством множества комплексных чисел. Доказательство. Докажем, что множество рациональных чисел ℝ изоморфно некоторому подмножеству поля ℂ, а именно, подмножеству вида ℝ1={(a,0)׀ a ℝ}Íℂ. Зададим отображение :ℝ ℝ1, по правилу ∀ a ℝ (a)=(a,0) (*) 1. Покажем что - гомоморфизм ℝ в ℝ1. Пусть a, b ∈ℝ. Тогда а) (a+b) (a + b,0); (a)+ (b) (a,0)+(b,0) (a+b,0). Значит, (a+b)= (a)+ (b). б) (ab) (ab,0). (a)⋅ (b) (a,0)(b,0) (ab-0,0+0)=(ab,0). Значит, (ab)= (a)⋅ (b) Из а), б) следует, что - гомоморфизм 2. Покажем, что - биекция a) Покажем, что - инъекция. Пусть образы элементов a и b равны, т.е. б) Покажем, что - сюръекция. ∀ (a,0)∈ℝ1 ∃ a ∈ℝ, такой что (a)=(a,0). Из 1,2 следует, что - изоморфизм ℝ ℝ1. Учитывая, что ℝ1Íℂ, можно считать, что ℝ изоморфно вкладывается в ℂ, отожествляя число a ∈ℝ с парой (a,0)∈ℝ1, т.е. (a,0) a, и можем считать что ℝÍℂ. Теорема 3. В поле ℂ уравнение x2+1=0 разрешимо. Доказательство. Рассмотрим x 2+1=0 как уравнение с коэффициентами из ℂ. А именно, согласно теореме 2, отождествим 1 (1,0), 0 (0,0). Уравнение примет вид x 2+(1,0)=(0,0). Обозначим i =(0,1) и покажем, что i удовлетворяет уравнению. Действительно, i 2=(0,1)(0,1) (0-1,0+0)=(-1,0), и i 2+(1,0)=(-1,0)+(1,0) (0,0). Cледовательно i – решение уравнения x 2+1=0. Отметим что i= (0,1) не принадлежит множеству ℝ1={(a,0)׀ a ℝ} ℝ. Таким образом, i не является действительным числом. Элемент i называют мнимой единицей. Определение 4. Мнимой единицей называетсякорень i уравнения x 2+1=0, т.е. число, удовлетворяющее условию i 2=-1.
|