Рівняння нерозривності струменя. Закон Бернуллі

Розглянемо потік рідини, густина якої не залежить від тиску. Нехай швидкість потоку . Лінії, дотичні до яких у кожній крапці збігаються за напрямком з вектором швидкості, називаються лініями струму. Поверхня, яка утворена лініями струму, що проведені через усі точки замкнутого контуру, називають трубкою струму. При стаціонарній течії рідини її частинки, що рухаються, не перетинають трубку струму.

Нехай рідина тече усередині деякої трубки струму, причому швидкість руху частинок у всіх точках довільного перетину даної трубки однакова. Тоді за проміжок часу Dt крізь перетину площі S пройде об’єм рідини SvDt. Оскільки рідина нестислива, маса рідини між перетинами S₁ і S₂ трубки струму буде залишатися незмінною. Виходить, що об’єм рідини, який протікає крізь перетини S₁ і S₂ за час Dt, повинний бути однаковим. Звідси випливає, що S₁v₁ = S₂v₂. Іншими словами, для нестисливої рідини величина Sv у будь–якому перетині однієї і тієї ж трубки струму однакова:

.

Отримане рівняння називають рівнянням нерозривності струменя.

Розглянемо стаціонарну течію ідеальної рідини в однорідному полі сил тяжіння. Виділимо думкою частину рідини, що у момент t заповнює об’єм вузької трубки струму між нормальними перетинами 1 і 2. До моменту t+Dt ця частина рідини переміститься уздовж трубки струму і виявиться між перетинами і 2'.

Згідно закону збереження енергії, збільшення повної механічної енергії цієї частини рідини за час Dt:

,

де – робота, яку виконують сили тиску.

Ця робота дорівнює:

.

Відповідно з рівнянням нерозривності струменя – об’єм рідини, що пройшов через перетини і за час Dt. Тоді останнє рівняння приймає вигляд:

.

Збільшення енергії DЕ розглянутої рідини можна представити як різницю енергій елементів і :

.

Дорівнявши формули роботи сторонніх сил і збільшення енергії, одержимо:

.

Оскільки перетини 1 і 2 узяті довільно, можна записати:

– рівняння Бернуллі.

Перший доданок являє собою тиск, обумовлений потоком рідини, що рухається. Його називають гідродинамічним. Другий доданок – зовнішній тиск, третій – гідростатичний тиск надлишкового стовпа рідини.

Висновок: При стаціонарній течії рідини повний тиск у будь–якому перетині трубки струму є величиною сталою.