Графики функций

Графиком линейной функции y = kx + b является прямая.

Графиком прямой пропорциональности y = kx является прямая, проходящая через начало координат.

k
Графиком обратной пропорциональности y = — является гипербола.
x

Графиком квадратичной функции y = x ² является парабола.
Если х = 0, то у = 0.
Если х ≠ 0, то у > 0.

Графиком кубической функции y = x ³ является кубическая парабола - винтообразная линия, проходящая через 0.
Если х = 0, то у = 0.
Если х > 0, то у > 0.
Если х < 0, то у < 0.

В школьном курсе математики впервые с простейшими преобразованиями графиков учащиеся знакомятся в 7 классе на уроках алгебры при изучении темы “Взаимное расположение графиков функций”. На тот момент ученики рассматривают взаимное расположение графиков прямой пропорциональности и линейной функции. В случае, если угловые коэффициенты прямых одинаковы, то графики параллельны друг другу и этот факт учащиеся и используют. Затем в 9 классе на уроках алгебры изучается построение графика квадратичной функции. С помощью преобразований строятся параболы, задаваемые уравнениями у = х² + n, у = (х+m)², у = kх², у = (х+m)² + n. Причем каждое преобразование изучается на отдельном уроке. В результате у ребят нет целостного представления о преобразованиях. Все преобразования можно разделить на смещение или сдвиг (то, что в учебниках называют параллельным переносом) и сжатие или растяжения.

Знаки “ + ” или “ - ” в формуле задают смещение

Знак “ × ” задает сжатие либо растяжение.

Все преобразования делятся на те, которые выполняются вдоль оси Ох и те, которые выполняются вдоль оси Оу. Как ребятам разобраться вдоль какой оси выполнять преобразование? если в формуле выполняется действие только с переменной х, значит преобразование будет вдоль Ох, если же действие выполняется над всей исходной функцией, то преобразование пойдёт вдоль Оу.

Таким образом, различают три вида геометрических преобразований графика функции:

· Первый вид - масштабирование (сжатие или растяжение) вдоль осей абсцисс и ординат.

На необходимость масштабирования указывают коэффициенты и отличные от единицы, если , то происходит сжатие графика относительно oy и растяжение относительно ox, если , то производим растяжение вдоль оси ординат и сжатие вдоль оси абсцисс.

· Второй вид - симметричное (зеркальное) отображение относительно координатных осей.

На необходимость этого преобразования указывают знаки «минус» перед коэффициентами (в этом случае симметрично отображаем график относительно оси ox) и (в этом случае симметрично отображаем график относительно оси oy). Если знаков «минус» нет, то этот шаг пропускается.

· Третий вид - параллельный перенос (сдвиг) вдоль осей ox и oy.

Это преобразование производится В ПОСЛЕДНЮЮ ОЧЕРЕДЬ при наличии коэффициентов a и b, отличных от нуля. При положительном а график сдвигается влево на |а| единиц, при отрицательных а – вправо на |а| единиц. При положительном b график функции параллельно переносим вверх на |b| единиц, при отрицательном b – вниз на |b| единиц.

Вопрос

Элементы комбинаторики

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Большинство комбинаторных задач могут быть решены с помощью двух основных правил – правила суммы и правила произведения.

Правило суммы. Если некоторый объект A можно выбрать n способами, а другой объект B можно выбрать m способами, причём первые и вторые способы не совпадают, то любой из указанных объектов «или А, или В» можно выбрать n + m способами.

Правило произведения. Если некоторый объект A можно выбрать n способами и после каждого такого выбора второй объект B можно выбрать m способами, то оба объекта «А и В» в указанном порядке можно выбрать nm способами. Существуют четыре схемы выбора m элементов из множества состоящего из n элементов: с учётом порядка, без учёта порядка, с возвращением и без возвращения.

Сочетание есть неупорядоченная выборка элементов из некоторого множества S.