Геометрические величины в школьном курсе математики

Величина и ее измерение

Го­воря далее о величинах, будем иметь в виду скалярную, аддитив­ную, непрерывную положительную величину. Интуитивно мы представляем себе, что величина может быть больше или меньше, две однородные величины могут складывать­ся, величину можно делить на любое натуральное число, ее мож­но измерить, причем под измерением обычно понимают сравне­ние данной величины с другой того же рода, принятой за единицу измерения.. Рассмотрим бесконечное множество В с введенным в нем отно­шением < (меньше) и операцией + (сложение), т. е. (В,<,+), которое назовем системой однородных величин (или системой величин, или родом величин). Элементы а,b, с,... или а₁, а₂,... множества В назовем однородными величинами или величинами одного рода.

Система величин (В,<,+) характеризуется следующими свой­ствами, которые могут быть приняты за исходные предложения (аксиомы) теории величин:

1) а, b (а>Ь или а=b или b<а) (причем имеет место только одно из трех соотношений).

2) а, b, с (а<b и b<с =>а<с) (транзитивность отношения «мень­ше», а также «больше», которое может быть определено через «меньше», а>b b<а).

3) а, b ! с (а+b=с) (замкнутость В относительно сложения).

4) а, b (а+b=b+а) (коммутативность сложения).

5) а, b, с (а+(b+с)=(а+b)+с) (ассоциативность сложения).

6) а, b (а+b>а) (монотонность сложения).

7) а, b а>b => !с (b+с=а)) (возможность вычитания а-b=с),

8) а, n N b (nb=а) (возможность деления величины на на­туральное число: а:n=b).

9) а, b n N (а<nb) (аксиома Архимеда).

10) пусть даны две последовательности величин из В: а₁<а₂<...<...; ...<...<b₂<b₁ причем для любой величины с при доста­точно большом номере п b_n-а_n<с, т. е. члены последовательностей (а_п) и (b_п) неограниченно приближаются друг к другу. В таком слу­чае существует единственная величина хеВ, которая больше всех а_n и меньше всех b_n т. е.

с nеN (b_n -а_n <с)=> ! х В n N (а_n <х<b_n) (аксиома непрерывности).

Свойства 1-10 полностью определяют понятие системы поло­жительных скалярных величин.

Если какую-нибудь величину е В принять за единицу измере­ния» то всякая величина системы В однозначно представлена в виде а= е_, где - положительное действительное число ( R⁺) - мера величины а при единице измерения е. Меру при единице изме­рения е обозначим через m(а), т. е. если а = е, то = m(а).

Мера обладает следующими свойствами:

а) m - функция в области определения В и области значения R⁺, т.е. т отображает В на R⁺;

б) а<b=>m(a)<m(b) (монотонность меры);

в) m(а+b)=m(а)+m(b) (аддитивность меры);

г) m(е)=1 (мера единицы измерения равна 1).

Перечисленные свойства полностью характеризуют меру т. Су­ществует единственная функция

В R⁺, обладающая этими свой­ствами, а именно мера m(а) величины при единице измерения е. Если заменить е на е ', то получится новая мера m'(а)= ', причем, т.к. m'(а)= , связь между двумя мерами выразится так: m'(а)= ^-1m(а).Перечисленные свойства общего понятия величины и меры величи­ны находят применение (в явном или неявном виде) при изучении кон­кретных геометрических величин (длины, площади и объема) в школе.

Методические особенности изучения геометрических величин.

Измерение геометрических величин изучается в школьном курсе дважды, на двух различных уровнях.

На первом, чисто экспериментальном, уровне в начальных классах учатся измерять длины отрезков, площади простейших плос­ких фигур и объемы простейших пространственных тел. На этом уровне не дается определений длины, площади и объема. Цель состоит в том, чтобы создать у учащихся ясные интуи­тивные понятия. Рассмотрим некоторые вопросы методики изучения геометри­ческих величин на втором уровне.

Можно ли строго эту теорию построить в школьном курсе? Раз­ные точки зрения, много трудностей, много логических пробелов. Например, в учебнике АЛ. Киселева площадью называется «величина части плоскости, заключенной внутри многоугольника или какой-нибудь другой плоской замкнутой фигуры», далее мы читаем: «Площадь прямоугольника равна произведению его осно­вания на высоту». Далее, правда, есть разъяснение, что это крат­кая формулировка и надо понимать «число, выражающее площадь прямоугольника в квадратных единицах и т. д.». В сознании уча­щихся остается только первая формулировка. Аналогично у А.П. Киселева обстоит дело и с определением понятия объема. Объем определяется как величина части про­странства, занимаемой геометрическим телом, а дальше - теоре­ма V=аЬс (V - объем прямоугольного параллелепипеда).

Наряду с этим обращает на себя внимание тот разнобой, который имеет место при отыскании числа, выражающего объемы различных тел. Именно поэтому «школьная теория» измерения геометрических величин должна строиться таким образом, чтобы четко вырисовывалась общая схема. Это относится к определениям понятий «дли­на», «площадь», «объем». Раскрытие связей по общей схеме спо­собствует более глубокому пониманию и прочности знаний. Каждое из трех понятий определяется как вещественное чис­ло, удовлетворяющее условиям (а - г), которые характеризуют об­щее понятие меры множества.

Можно наметить следующую схему теории измерения длин отрезков:

1) определение длины отрезка как вещественного числа, удов­летворяющего условиям;

2) описание процедуры измерения отрезков;

3) установление существования и единственности длины отрез­ка при данном выборе единицы измерения с использованием ак­сиомы Архимеда;

4) установление существования отрезка, длина которого при данном выборе единицы измерения равна любому, наперед задан­ному положительному числу с использованием аксиомы Кантора» геометрического эквивалента аксиомы непрерывности (11).

Разъяснение учащимся старших классов сущности аксиомы Кантора (обычно не рассматривается в школьном курсе) не пред­ставляет особых трудностей. Это можно сделать именно в связи с установлением свойства 4.

Случай, когда наперед заданное число - рациональное, не тре­бует применения аксиомы Кантора и выполняется с помощью эле­ментарного построения. Но вот когда число иррациональное (например, х=2,31311311131111...), то при разъяснении приходим к аксиоме Кан­тора; «Если на прямой дана бесконечная последовательность отрез­ков А₁В₂, А₂,В₂,..., А_nВ_n,... такая, что, во-первых, каждый отрезок лежит внутри предыдущего; во-вторых, нет отрезка, лежащего внутри всех отрезков этой последовательности, то существует точ­ка, лежащая внутри всех отрезков этой последовательности». Един­ственность этой точки непосредственно следует из аксиомы. И таким образом, строим отрезок х.

Теория измерения площадей и объемов в некоторой части аналогичны. Подчеркивание этой аналогии в процессе обучения -эффективное средство формирования понятия о методике постро­ения этих теорий.

Аналогия заключается в выборе единицы измерения (квадрат со стороной 1 - куб с ребром 1), а также в последовательности и е доказательств предложении. Однако это не распространяется на всю теорию. Например, нельзя проводить аналогию в вопросах о равновеликости и равно­составленности площадей и объемов, хотя определения этих поня­тий вводятся аналогично. Но, если всякие равновеликие многоуголь­ники равносоставлены, то этого нельзя сказать о равновеликих мно­гоугольниках:«Два многоугольника (многогранника), которые можно разло­жить на одинаковое число попарно конгруэнтных многоугольни­ков (многогранников), называются равносоставленными ».

Вопрос

Методика изучения темы «Векторы»

В математике обычно имеют дело с так называемым свободным вектором (вектором, не связанным ни с какой прямой и ни с какой фиксированной точкой). Следует отметить, что в математике вектор рассматривается как элемент векторного пространства, но в школьном курсе математики понятие «векторное пространство» не изучается. Поэтому и выделяют различные подходы к введению вектора. Каждый из этих подходов имеет свои достоинства и недостатки. И фактически ни один из них не является идеальным и логически безупречным. Так, в пособии под редакцией Колмогорова А. Н. дается такое определение: «В геометрии параллельные переносы имеют и другое название - их называют векторами». Данное определение основано на рассуждениях, что вектор - это объект, характеризуемый направлением и длиной. Однако, как известно, теми же самыми признаками характеризуется и параллельный перенос. Поэтому представляется наиболее естественным всякий параллельный перенос называть вектором.

Новое определение вектора не связано с понятием направленного отрезка. Под вектором понимают либо множество упорядоченных пар точек, задающих некоторый параллельный перенос, либо сам этот перенос. Рассмотрим множество всех пар точек плоскости. Для элементов рассматриваемого множества введем следующее отношение: пары (А, В) и (С, D), если [АВ) [СВ) и, |АВ|=|СО|. Это те пары точек, которые задают один и тот же параллельный перенос. Эквивалентными между собой будем считать и пары, у которых первая точка совпадает со второй. Легко проверить, что такое отношение эквивалентности обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Данное отношение эквивалентности разбивает множество пар точек плоскости на непересекающиеся подмножества (классы), элементами которых являются эквивалентные пары. Каждое из таких подмножеств можно назвать вектором. Заметим, что при данной трактовке вектора направленный отрезок АВ выступает как удобное наглядное изображение вектора. Однако в статье А. Д. Александрова «Понятие вектора в физике и геометрии» говорится о том, что неправильно определять вектор как направленный отрезок. В этой же статье в качестве наиболее удачного предлагается такое определение вектора; «Вектором в геометрии называется направленный отрезок, рассматриваемый с точностью до выбора его начала, т.е. равные друг другу направленные отрезки считаются представителями или изображениями одного и того же вектора. Данный вектор -это любой из таких отрезков». «Направленный отрезок называется вектором» - так определяется данное понятие в учебниках. Отличительной чертой изложения векторов здесь является широкое использование координатного метода. При этом широко применяются свойства параллельного переноса, который сам вводится с использованием координат. С помощью параллельного переноса вводятся такие понятия, как «одинаково направленные векторы», «равенство векторов». У этого подхода к введению векторов есть достоинства и недостатки. К достоинствам можно отнести отсутствие трудностей, связанных с введением операций над векторами и законов векторной алгебры. К недостаткам следует отнести то, что геометрический смысл этих операций отодвигается на второй план, а приложения векторов в физике и в геометрии практически не рассматриваются. Эти недостатки частично устранены в учебнике Л.С. Атанасяна и др. «Геометрия 7-9 кл.», где сначала изложена декартова система координат, затем тема «Векторы» (вектор и операции над векторами рассматриваются с геометрической точки зрения, уделяется внимание их приложениям) и только потом идет векторная алгебра.

Содержание темы в школьном курсе математики и некоторые особенности ее изучения

Операции над векторами.

Операции над векторами, которые изучаются в средней школе, следующие;

- сложение векторов (вычитание);

- скалярное произведение векторов;

Чаще всего эти операции вводятся в геометрической форме (Л.С. Атанасян).

Отличительной чертой учебного пособия по геометрии А.В. По-горелова является то, что все операции над векторами вводятся в координатной форме. (Фактический материал см. по соответству­ющим учебникам).

Важным для приложений векторов является тот факт, что любой век­тор а(а_иа₂) допускает разложение в виде , где е , -единичные векторы, имеющие направления положительных координат­ных полуосей, их называют координатными векторами, или ортами.

В этой теме обязательно доказательство теоремы о скалярном про­изведении векторов (доказательство знать), поскольку ряд важных след­ствий из этой теоремы, а также свойства скалярного произведения по­зволяют применять векторы к доказательству теорем и решению задач.

Применение векторов при доказательстве теорем.

С помощью векторов могут быть доказаны следующие теоремы:

- средняя линия треугольника параллельна его третьей сторо­не и равна ее половине;

- сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна гумме квадратов длин всех его сторон;

- диагонали ромба взаимно перпендикулярны;

- диагонали в прямоугольнике имеют равные длины; и т.д. (одну доказать).

Методика решения геометрических задач с помощью векторов.

Введенный в среднюю школу векторный аппарат дает новый метод для решения геометрических задач. По значимости его мож-ю сравнить с методом составления уравнений. Так как этот метод является новым для учащихся, необходимо:

а) заинтересовать учащихся, показав им эффективность его использования на специально подобранных задачах;

в) обучать учащихся некоторым эвристикам (системе опредеделённых правил, помогающих найти ключ к решению задачи), ко­торые помогут создать у них навык в его применении;

с) обучать учащихся этому методу достаточно на простых задачах, не отвлекая внимание на трудности чисто геометрического содержания.

Вопрос