Касательная плоскость

Воспользуемся некоторыми знаниями по математическому анализу.

Если поверхность задана неявным уравнением - точка на ней, то есть то уравнение касательной плоскости к поверхности в этой точке:

Здесь - частные производные по соответствующей переменной в данной точке Вектор - вектор нормали к поверхности в точке

Найдем уравнение касательной плоскости к эллипсоида

в точке принадлежащей эллипсоида.

Найдем частные производные:

Воспользуемся уравнением касательной плоскости к неявно заданной поверхности:

поскольку точка принадлежит эллипсоида.

Аналогично можно записать уравнение касательных плоскостей к другим поверхностям второго порядка в точке принадлежащей поверхности:

	уравнение поверхности	уравнение касательной плоскости
эллипсоидной
однополостный гиперболоид
двуполостные гиперболоид
эллиптический параболоид
гиперболический параболоид

Заметим, что с эллипсоидом, двуполостные гиперболоидом и эллиптическим параболоидом касательная плоскость имеет единую общую точку - точку касания и поверхность находится по одну сторону от касательной плоскости. Касательная плоскость пересекает однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид по паре прямолинейных образующих; поверхность находится по разные стороны от касательной плоскости.

Пример. Через прямую проведите плоскости, касаются двуполостные гиперболоида и определите точки соприкосновения.

Плоскости, проходящие через прямую, образуют пучок плоскостей. Запишем его уравнения: Запишем уравнение касательной плоскости к двуполостные гиперболоида в неизвестной точке принадлежащей поверхности:

Нужно найти такую ​​точку на поверхности, в которой касательная плоскость принадлежит пучка плоскостей есть:

Поскольку точка принадлежит поверхности, то

Итак касающиеся плоскости имеют уравнения

соответствующие точки соприкосновения