Ортогональная диагонализации матрицы квадратичной формы

Рассматриваем евклидово пространство с ортонормированным базисом Каждому вектору с координатами поставим в соответствие матрицу размера или вектор-столбец по правилу:

Скалярное произведение двух векторов и в ортонормированном базисе можно записать в виде

где и вектор-столбцы, образованные из координат соответствующих векторов.

Рассмотрим линейное пространство вектор-столбцов (матриц размера ).Зададим в этом пространстве скалярное произведение по формуле

Будем говорить, что вектор-столбцы и взаимно ортогональны, если

Напомним несколько определений.

Пусть - матрица размера Число называется собственным числом матрицы если существует ненулевой вектор-столбец такой что

Вектор-столбец называется собственным вектором матрицы соответствующий собственному числу

Число является корнем характеристического уравнения которое является многочленом степени относительно Корни этого многочлена могут быть комплексными. Но если симметричная матрица () с действительными элементами, то ситуация упрощается.