Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Имитационная модель системы массового обслуживания

⇐ ПредыдущаяСтр 24 из 91Следующая ⇒

Рассмотрим имитационную модель СМО следующего вида:

  • многофазная;
  • многоканальная;
  • с несколькими неоднородными потоками заявок на обслуживание;
  • разомкнутая;
  • абсолютно надежная;
  • с очередями неограниченной емкости на всех фазах обслуживания.

СМО такого вида показана на рис. 3.29.

На рис. 3.29:

- источники потоков заявок на обслуживание;

- каналы обслуживания;

- число фаз;

- число каналов в каждой фазе;

- очереди заявок на входах соответствующих фаз.


увеличить изображение
Рис. 3.29. Многофазная СМО

Такой СМО может быть, например, сборочный цех радиоэлектронного предприятия. Из нескольких цехов () поступают готовые блоки для сборки изделия. Сначала они поступают на диспетчерские посты, на которых происходит оформление соответствующей документации. После этого блоки направляются на сборочные участки.

Диспетчеризация - первая фаза обслуживания.

Сборка изделий - вторая фаза обслуживания.

Затем идет стендовый контроль и регулировка - это третья фаза обслуживания.

Четвертая фаза - приемка готового изделия (например, военная приемка)

Далее может быть упаковка изделия - пятая фаза.

Упакованные изделия поступают в транспортное подразделение для отправки - это шестая фаза.

На каждом из этих шести участков работают инженеры, техники, наладчики, контролеры, упаковщики. В силу различного рода случайностей на входе каждой фазы могут образовываться очереди комплектующих блоков, непроверенных изделий, готовых изделий. А также могут быть простои работников, что в терминах СМО трактуется как очереди свободных каналов.

Вернемся к общей постановке задачи.

Целью моделирования является определение показателей исхода операции массового обслуживания на временном интервале . Например, оценка относительной пропускной способности СМО, среднее количество заявок в очередях, коэффициент использования каналов в каждой фазе и др.

Проанализируем элементы СМО.

  1. Входные потоки заявок на обслуживание

Поступление заявок на вход первой фазы - событие активное.

Следовательно, в модели должны быть предусмотрены модули реакции на это событие. Каждый поток обслуживает свой модуль реакции, значит, модулей реакции этого типа должно быть столько, сколько имеется потоков заявок, то есть . Моменты поступления заявок имитируются соответствующими генераторами (датчиками) случайных интервалов между заявками потоков .

  1. Каналы обслуживания

Каждый канал имеет два состояния: свободен или занят. Переход в состояние "занят" - событие пассивное, так как определяется поступлением заявки. Переход в состояние "свободен" - событие активное, оно определяется внутренними свойствами канала, например, производительностью. Следовательно, в модели должны быть модули реакции на освобождение каналов. И этих модулей должно быть столько, сколько имеется в нашей СМО каналов:

  1. Очереди заявок на обслуживание на входах фаз

Эти элементы СМО - пассивные, число состояний неограниченно.

  1. Очереди свободных каналов в каждой фазе обслуживания

Эти элементы СМО также пассивные, число состояний равно числу каналов в каждой фазе.

  1. Обобщенный элемент "СМО в целом"

Характеризуется одним активным событием - завершение интервала исследования . Следовательно, для обработки этого события в модели предусматривается один специальный модуль реакции.

Изменения состояний считаем мгновенными. Общее число модулей реакции в рассматриваемой модели должно быть:

При большом числе входных потоков и каналов обслуживания количество модулей реакции будет значительным, и модель будет труднообозримой, громоздкой. Однако структуру модели можно существенно упростить, назначив однородным активным событиям по одному модулю реакции. Или: освобождение любого канала вызывает обращение к другому общему модулю реакции. Естественно, на входе таких универсальных модулей реакции должен присутствовать блок настройки на конкретное активное состояние объединенной группы.

Строить же общий модуль реакции на освобождение всех каналов СМО нецелесообразно, так как освобождение каналов последней фазы СМО требует действий, заметно отличающихся от тех, которые необходимо выполнить при освобождении каналов не последней фазы.

Таким образом, имитационная модель СМО будет иметь всего четыре модуля реакции:

  • модуль реакции на поступление заявки (А);
  • модуль реакции на освобождение канала не последней фазы (В);
  • модуль реакции на освобождение канала последней фазы (С);
  • модуль реакции на завершение интервала исследования - реакция на изменение состояния обобщенным элементом "СМО в целом".

Блок-схема имитационной модели СМО состоит из общей части и модулей реакции. Общая часть имеет стандартный вид и была рассмотрена ранее. Структура общей части определяется способом продвижения модельного времени по событиям. Она показана на рис. 3.30.


Блок 1 - установка начальных условий на весь процесс моделирования. Вводятся константы , , указываются число источников заявок, число каналов. Счетчик числа реализаций устанавливается в нуль (или в - в зависимости от того, как организован счет реализаций модели). Указываются данные планирования эксперимента с моделью и др.

Блок 2 - установка начальных условий на очередную реализацию модели. Текущее время, счетчики числа поступивших и обслуженных заявок устанавливаются в нуль. Каналы обслуживания и очереди к ним устанавливаются в исходные состояния (установки исходных состояний определяются требованиями к исследованию) и др.


Рис. 3.30. Блок схема имитационной модели СМО

Наборы исходных данных и определяются конкретным назначением моделируемой СМО и характером последующих экспериментов.

Блоки 3, 4 реализуют продвижение времени по событиям.

Блок 5 - выбор модуля реакции. В зависимости от индекса пространственно временной точки передает управление соответствующему модулю реакции - , , или .

В рассматриваемой модели элементы СМО имеют только два состояния, одно из которых является начальным. Поэтому индекс не имеет смысла.

Рассмотрим состав и функционирование модулей реакции.

Допустим, что в рассматриваемый момент времени свершилось активное событие - поступление заявки от одного из источников. Блок 5 передает управление модулю реакции А.

Блок-схема алгоритма модуля реакции приведена рис. 3.31.

Блок А5 - блок настройки. Обеспечивает доступ к ДСЧ, ячейкам и т. д. модуля, предназначенным для обслуживания конкретного потока заявок, которому принадлежит поступившая заявка.


увеличить изображение
Рис. 3.31. Блок-схема алгоритма модуля реакции А

Блок А6 - проверка наличия свободных каналов первой фазы. Количество свободных каналов в очереди обозначено: .

Если все каналы заняты , управление передается блоку А7. Если свободные каналы есть , управление передается блоку А9.

Блок А7 - размещение поступившей заявки в соответствующей очереди первой фазы . Текущее содержимое этой очереди обозначено как .

Блок А8 - запоминание времени постановки заявки в очередь и передача управления блоку А13.

Правая ветвь алгоритма (см. рис. 3.30) выполняет действия, связанные с постановкой заявки на обслуживание.

Блок А9 - имитация загрузки одного из свободных каналов поступившей заявкой. Очередь свободных каналов уменьшается на (). Выбранному каналу присваивается признак занятости - . У свободных каналов этот признак равен .

Блок А10 - определение и запоминание длительности простоя канала. Накопление времени простоя необходимо, например, для определения коэффициента занятости канала на интервале исследования.

Блок А11 -имитация времени обслуживания заявки.

Случайное время обслуживания формируется обращением к соответствующему датчику случайных чисел.


Блок А12 - прогноз времени окончания обслуживания и занесение новой пространственно-временной точки в список событий.

Блок А13 - прогноз момента времени поступления очередной заявки. Соответствующий датчик случайных чисел выдает длительность случайного временного интервала между заявками данного типа. Момент поступления очередной заявки вычисляется как . Полученная таким образом пространственно-временная точка заносится в список событий.

Управление передается в точку Е - блоку 3 для определения очередного ближайшего события.

Если очередным ближайшим событием окажется освобождение канала не последней фазы, то блок 5 передает управление модулю реакции В, имитирующему действия в СМО при свершении этого активного события.

Блок-схема алгоритма модуля реакции В представлена на рис. 3.32.

Модуль В имеет две функции. Во-первых, попытаться загрузить освободившийся канал заявкой из очереди на входе фазы, в которой находится освободившийся канал. Во-вторых, имитировать продвижение заявки, освободившей канал, в следующую фазу обслуживания.


увеличить изображение
Рис. 3.32. Блок-схема алгоритма модуля реакции В

Блок В5 -настройка модуля на освободившийся канал конкретной фазы.

Каждая фаза обслуживания имеет свою очередь заявок на входе, свою очередь свободных каналов и, возможно, свои датчики случайных чисел. Поэтому не будем вводить для них новые обозначения, оставим те, которые были использованы при описании модуля А.

Блок В6. Проверка: есть ли в очереди на входе фазы заявки, ожидающие обслуживания ()? Если есть, то освободившийся

канал должен быть немедленно загружен (блоки 10… 13). Если нет, то канал должен быть переведен в режим ожидания (блоки В7…В9).

Блок В7. Очередь свободных каналов увеличивается на (). Признак занятости канала устанавливается в нуль.

Блок В8. Запоминание момента освобождения канала.

Блок В9. Перевод освободившегося канала в пассивное состояние. Для этого пространственно-временной точке , относящейся к освободившемуся каналу, присвоить значение времени,

превышающего интервал исследования , то есть . Это значение заносится в список событий. Управление передается блоку В14.

Блоки В14…В20 моделируют размещение заявки, освободившей канал, в следующей фазе обслуживания. Функции и взаимные связи этих блоков аналогичны блокам А6 … А12, рассмотренным ранее:

Блок 20 передает управление блоку 3 для идентификации очередного активного события. Этим событием может быть поступление заявки от какого-либо источника на вход первой фазы или окончание обслуживания заявки каким-либо каналом. В этих случаях управление будет снова передано модулям реакции или .

Если же очередным активным событием окажется освобождение канала последней фазы, то управление передается модулю реакции С (рис. 3.33).

Блок С5 - настройка на соответствующий канал последней фазы. Аналогичен блоку В5.


Блоки С6…С13 - загрузка освободившегося канала ожидающей заявкой, если таковая есть на входе последней фазы. Функции и взаимосвязи блоков аналогичны блокам В6…В13. Блок С6 соответствует блоку В6, блок С7 - блоку В7 и т. д. по одинаковым номерам.

Блок С14 формирует числовые атрибуты заявок, покидающих СМО. Такими атрибутами могут быть: суммарное время обслуживания заявки на всех фазах, суммарное время ожидания в очередях, число обслуживаний без ожидания и др. Атрибуты запоминаются и управление передается блоку 2.


Рис. 3.33. Блок-схема алгоритма модуля реакции С

Если очередное значение , что означает окончание интервала исследования работы СМО, управление передается модулю реакции (рис. 3.34).


Рис. 3.34. Блок-схема алгоритма модуля реакции \Theta

Построить имитационную модель с продвижением времени можно и по-другому. Однако рассмотренная структура модели обладает важными достоинствами:

  1. Моделирующий алгоритм нагляден и прост, что существенно упрощает программирование и, особенно, отладку модели, а также изучение готовых моделей.
  2. Рассмотренная структура алгоритма позволяет параллельно разрабатывать модель по отдельным модулям и, следовательно, сокращать время на ее создание.

Облегчены корректировка и развитие модели. Например, в рассмотренной модели СМО легко учесть выход из строя и восстановление каналов обслуживания. Для этого надо добавить два модуля реакции: один - на возникновение отказа, другой - на восстановление работоспособности. Оба эти события рассматриваются как активные, если неисправность возникает из-за внутренних дефектов оборудования, а восстановление является результатом усилий обслуживающего персонала, входящего в состав СМО.

Вопросы для самоконтроля

  1. Что такое имитационная статистическая модель? Сравните ее с аналитической моделью.
  2. Назначение датчиков случайных чисел (генераторов) в имитационном моделировании.
  3. Принцип формирования случайных чисел в алгоритмических датчиках случайных чисел.
  4. Почему случайные числа, формируемые в компьютере, являются псевдослучайными квазиравномерными?
  5. Формирование случайных величин с произвольными законами распределения вероятностей методом обратной функции.
  6. Формирование равномерно распределенных случайных чисел на произвольном отрезке .
  7. Формирование нормально распределенных случайных чисел с произвольными значениями и .
  8. Найти методом обратной функции процедуру розыгрыша непрерывной случайной величины, распределенной по закону Ре-лея, заданного плотностью вероятности при ; при .
  9. Найти процедуру розыгрыша случайной величины, распределенной по закону Вейбулла, заданного плотностью вероятности при ; при .
  10. Создать программу мультипликативного датчика равномерно распределенных случайных чисел для 64-разрядной сетки:

Определить период повторения случайных чисел.

  1. Усовершенствуйте алгоритм имитационной модели (рис. 3.5) так, чтобы можно было определять не только оценку математического ожидания вероятности поражения объекта, но оценку математического ожидания расхода ракет.
  2. Способ моделирования единичных событий.
  3. Способы моделирования полной группы несовместных событий.
  4. Три способа моделирования совместных независимых событий.
  5. Моделирование совместных зависимых событий.
  6. Стационарный и нестационарный случайные процессы.
  7. Эргодический и неэргодический случайные процессы.
  8. Способы продвижения модельного времени в имитационной модели.
  9. Какие виды времени различают при имитационном моделировании?
  10. Что понимается под распределенным имитационным моделированием? Сравните его с последовательным имитационным моделированием.
  11. Что значит квазипараллельное моделирование?
  12. Модель противоборства, назначение блоков. Признаки окончания одной реализации.
  13. Поясните прием моделирования противоборства двух сторон методом "блуждания по решетке".
  14. Понятие активного и пассивного элемента в модели СМО.
  15. Блок-схема имитационной модели СМО.
  16. Модули реакции в модели СМО.
  17. Достоинства структуры модели СМО.

4. Лекция: Планирование экспериментов

 

4. Лекция: Планирование экспериментов: версия для печати и PDA Раскрывается сущность планирования компьютерного эксперимента, его необходимость и основные пути достижения приемлемых информативности и экономичности, точности и достоверности результатов моделирования.
Создание модели - акт необходимый при анализе и синтезе сложных систем, но далеко не конечный. Модель - не цель исследователя, а только инструмент для проведения исследований, инструмент эксперимента. В первых темах мы достаточно полно раскрыли афоризм: "Модель есть объект и средство эксперимента". Эксперимент должен быть информативен, то есть давать всю нужную информацию, которой следует быть полной, точной, достоверной. Но она должна быть получена приемлемым способом. Это означает, что способ должен удовлетворять экономическим, временным и, возможно, другим ограничениям. Такое противоречие разрешается с помощью рационального (оптимального) планирования эксперимента. Теория планирования эксперимента сложилась в шестидесятые годы двадцатого века благодаря работам выдающегося английского математика, биолога, статистика Рональда Айлмера Фишера (1890-1962 гг.). Одно из первых отечественных изданий: Федоров В. В. Теория оптимального эксперимента. 1971 г. Несколько позже сложилась теория и практика планирования имитационных экспериментов, элементы которых рассматриваются в настоящей теме. 4.1. Сущность и цели планирования эксперимента Итак, как мы уже знаем, модель создается для проведения на ней экспериментов. Будем считать, что эксперимент состоит из наблюдений, а каждое наблюдение - из прогонов (реализаций) модели. Для организации экспериментов наиболее важно следующее.
  1. Простота повторений условий эксперимента.
  2. Возможность управления экспериментом, включая его прерывание и возобновление.
  3. Легкость изменения условий проведения эксперимента (воздействий внешней среды).
  4. Исключение корреляции между последовательностями данных, снимаемых в процессе эксперимента с моделью.
  5. Определением временного интервала исследования модели ().
Компьютерный эксперимент с имитационной моделью обладает преимуществами перед натурным экспериментом по всем этим позициям. Что же такое компьютерный (машинный) эксперимент? Компьютерный эксперимент представляет собой процесс использования модели с целью получения и анализа интересующей исследователя информации о свойствах моделируемой системы. Эксперимент требует затрат труда и времени и, следовательно, финансовых затрат. Чем больше мы хотим получить информации от эксперимента, тем он дороже. Средством достижения приемлемого компромисса между максимумом информации и минимумом затрат ресурсов является план эксперимента. План эксперимента определяет:
  • объем вычислений на компьютере;
  • порядок проведения вычислений на компьютере;
  • способы накопления и статистической обработки результатов моделирования.
Планирование экспериментов имеет следующие цели:
  • сокращение общего времени моделирования при соблюдении требований к точности и достоверности результатов;
  • увеличение информативности каждого наблюдения;
  • создание структурной основы процесса исследования.
Таким образом, план эксперимента на компьютере представляет собой метод получения с помощью эксперимента необходимой информации. Конечно, можно проводить исследования и по такому плану: исследовать модель во всех возможных режимах, при всех возможных сочетаниях внешних и внутренних параметров, повторять каждый эксперимент десятки тысяч раз - чем больше, тем точнее! Очевидно, пользы от такой организации эксперимента мало, полученные данные трудно обозреть и проанализировать. Кроме того, большими будут затраты ресурсов, а они всегда ограничены. Весь комплекс действий по планированию эксперимента разделяют на две самостоятельные функциональные части:
  • стратегическое планирование;
  • тактическое планирование.
Стратегическое планирование - разработка условий проведения эксперимента, определение режимов, обеспечивающих наибольшую информативность эксперимента. Тактическое планирование обеспечивает достижение заданных точности и достоверности результатов. 4.2. Элементы стратегического планирования экспериментов Формирование стратегического плана выполняется в так называемом факторном пространстве. Факторное пространство - это множество внешних и внутренних параметров, значения которых исследователь может контролировать в ходе подготовки и проведения эксперимента. Объектами стратегического планирования являются:
  • выходные переменные (отклики, реакции, экзогенные переменные);
  • входные переменные (факторы, эндогенные переменные);
  • уровни факторов.
Математические методы планирования экспериментов основаны на так называемом кибернетическом представлении процесса проведения эксперимента (рис. 4.1). Рис. 4.1. Кибернетическое представление эксперимента На рис. 4.1: - входные переменные, факторы; - выходная переменная (реакция, отклик); - ошибка, помеха, вызываемая наличием случайных факторов; - оператор, моделирующий действие реальной системы, определяющий зависимость выходной переменной от факторов . Иначе: - модель процесса, протекающего в системе. Первой проблемой, решаемой при стратегическом планировании, является выбор отклика (реакции), то есть определение, какие величины нужно измерять во время эксперимента, чтобы получить искомые ответы. Естественно, выбор отклика зависит от цели исследования. Например, при моделировании информационно-поисковой системы может интересовать исследователя время ответа системы на запрос. Но может интересовать такой показатель как максимальное число обслуженных запросов за интервал времени. А может, то и другое. Измеряемых откликов может быть много: В дальнейшем будем говорить об одном отклике . Второй проблемой стратегического планирования является выбор (определение) существенных факторов и их сочетаний, влияющих на работу моделируемого объекта. Факторами могут быть питающие напряжения, температура, влажность, ритмичность поставок комплектующих и многое другое. Обычно число факторов велико и чем меньше мы знакомы с моделируемой системой, тем большее, нам кажется, число их влияет на работу системы. В теории систем приводится так называемый принцип Парето:
  • 20% факторов определяют 80% свойств системы;
  • 80% факторов определяют 20% свойств системы. Следовательно, надо уметь выделять существенные факторы. А
это достигается достаточно глубоким изучением моделируемого объекта и протекающих в нем процессов. Факторы могут быть количественными и (или) качественными. Количественные факторы - это те, значения которых числа. Например, интенсивности входных потоков и потоков обслуживания, емкость буфера, число каналов в СМО, доля брака при изготовлении деталей и др. Качественные факторы - дисциплины обслуживания (LIFO, FIFO и др.) в СМО, "белая сборка", "желтая сборка" радиоэлектронной аппаратуры, квалификация персонала и т. п. Фактор должен быть управляемым. Управляемость фактора - это возможность установки и поддержания значения фактора постоянным или изменяющимся в соответствии с планом эксперимента. Возможны и неуправляемые факторы, например, влияние внешней среды. К совокупности воздействующих факторов предъявляются два основных требования:
  • совместимость;
  • независимость.
Совместимость факторов означает, что все комбинации значений факторов осуществимы. Независимость факторов определяет возможность установления значения фактора на любом уровне независимо от уровней других факторов. В стратегических планах факторы обозначают латинской буквой , где индекс указывает номер (тип) фактора. Встречаются и такие обозначения факторов: и т. д. Третьей проблемой стратегического планирования является выбор значений каждого фактора, называемых уровнями фактора. Число уровней может быть два, три и более. Например, если в качестве одного из факторов выступает температура, то уровнями могут быть: 80o С, 100o С, 120o С. Для удобства и, следовательно, удешевления эксперимента число уровней следует выбирать поменьше, но достаточное для удовлетворения точности и достоверности эксперимента. Минимальное число уровней - два. С точки зрения удобства планирования эксперимента целесообразно устанавливать одинаковое число уровней у всех факторов. Такое планирование называют симметричным. Анализ данных эксперимента существенно упрощается, если назначить уровни факторов, равноотстоящие друг от друга. Такой план называется ортогональным. Ортогональность плана обычно достигают так: две крайние точки области изменения фактора выбирают как два уровня, а остальные уровни располагают так, чтобы они делили полученный отрезок на две части. Например, диапазон питающего напряжения 30…50 В на пять уровней будет разбит так: 30 В, 35 В, 40 В, 45 В, 50 В. Эксперимент, в котором реализуются все сочетания уровней всех факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). План ПФЭ предельно информативен, но он может потребовать неприемлемых затрат ресурсов. Если отвлечься от компьютерной реализации плана эксперимента, то число измерений откликов (реакций) модели при ПФЭ равно: где - число уровней -го фактора, ; - число факторов эксперимента. Величина определяет структуру стратегического плана, то есть количество наблюдений (информационных точек). При машинной реализации ПФЭ в каждом наблюдении (информационной точке) нужно выполнить определенное число прогонов (реализаций) модели, чтобы обеспечить заданную точность и достоверность значений откликов. Определение числа прогонов модели является предметом тактического планирования. Обозначим число прогонов в каждом наблюдении . Тогда для симметричного ПФЭ общее число необходимых прогонов модели равно: Пример 4.1. Планируется провести компьютерный эксперимент, в котором на отклик модели влияют три фактора. Для каждого фактора установлены три уровня. Требования по точности и достоверности требуют 6000 прогонов модели на каждом уровне (для каждого наблюдения). Время одного прогона модели равно 2 с. Оценить затраты времени на проведение компьютерного эксперимента. Решение Исходные данные: , , , . Число прогонов модели: . Затраты времени: . Ранее на рис. 4.1 был показан оператор преобразования - математическая модель процесса . В некоторых исследованиях, если - имитационная модель процесса, требуется вместо нее получить так называемую "вторичную модель" в виде аналитической зависимости. В дальнейшем "вторичная модель" может быть использована на практике или в других исследованиях. В таких случаях математическая модель формируется по данным эксперимента методом регрессионного анализа, что будет предметом нашего рассмотрения в следующей теме. 4.3. Стандартные планы Многие планы экспериментов в настоящее время стандартизованы. Они имеются в справочниках, математических пакетах программ и системах моделирования. Однако исследователь должен быть готов к модификации имеющихся планов и приспособлению их к специфическим условиям конкретных задач. С полным факторным экспериментом мы уже знакомы. Это, как отмечалось ранее, самый информативный план, понятный по структуре, но и самый неэкономичный. Поэтому ПФЭ применяют, когда число факторов невелико. В приведенном примере 4.1 при , , , затраты времени на проведение компьютерного эксперимента ожидаются в 106 часов. Поэтому актуальной становится проблема более или менее обоснованного сокращения плана эксперимента (числа наблюдений). Способов сокращения плана и, следовательно, уменьшения затрат времени на проведение экспериментов, много, но все они, в конечном счете, основаны на пренебрежении эффектами парных, тройных и более взаимодействий факторов. Естественно, это снижает точность моделирования, но во многих случаях допустимо. Рассмотрим несколько примеров. Пример 4.2. Необходимо провести эксперимент с моделью, имеющей три двухуровневых фактора, с целью построения математической модели ("вторичной модели") процесса в виде: Уравнение имеет восемь коэффициентов, следовательно, достаточно провести восемь наблюдений. Это уравнение соответствует ПФЭ типа . Полный факторный эксперимент дает возможность определить не только коэффициенты , соответствующие так называемым линейным эффектам (их также называют главными), но и коэффициенты , соответствующие всем эффектам взаимодействия факторов, а также свободный член . Эффекты взаимодействия двух и более факторов проявляются, если влияние каждого из них на отклик зависит от уровней, на которых установлены другие факторы. Теперь допустим, что число наблюдений в эксперименте, равное восьми, неприемлемо и план надо сократить. Вполне естественно предположить, что эффекты взаимодействия оказывают на реакцию системы существенно меньшее влияние, чем линейные, или даже отсутствуют вовсе, если факторы обладают свойством независимости. Исключим их и тогда модель процесса (уравнение отклика, уравнение реакции, "вторичная модель") принимает вид: Теперь число неизвестных коэффициентов сократилось вдвое и число необходимых наблюдений для их определения стало равно четырем. Что это за наблюдения? Четыре наблюдения достаточны для проведения ПФЭ при двух факторной модели . Этими факторами, например, могут быть или другая двухфакторная комбинация из трех факторов. Уровни третьего фактора получают из первых двух с помощью, так называемого генерирующего соотношения: Поскольку факторы двухуровневые, то в общем виде уровни принято обозначать так:
  • верхний уровень: +1;
  • нижний уровень: -1.
Новый, сокращенный план эксперимента называют полурепликой и обозначают . План приведен в табл. 4.1.
Таблица 4.1. План ПФЭ 2^2  
№ План ПФЭ Отклик  
 
    -1 -1 +1  
    +1 -1 -1  
    -1 +1 -1  
    +1 +1 +1  

Единичный столбец обеспечивает вычисление свободного члена в модели процесса.

Таким же образом можно проводить дальнейшее сокращение планов типа , получая четверть реплики и более мелкие реплики.

Естественно, такое сокращение числа экспериментов приводит к "огрублению" коэффициентов . Следовательно, полученную модель процесса нужно проверять на адекватность, используя для этого "сэкономленные" наблюдения.

Рассмотренное планирование является основой и составной частью для разработки более сложных - несимметричных многоуровневых планов.

Не менее часто целью экспериментов является проверка разного рода гипотез о природе сравниваемых объектов. Например, однородны ли выходы двух систем в смысле законов распределения, характеристик этих законов. Поскольку обработка данных эксперимента ведется методами дисперсионного анализа, то и планы в данном случае называются планами дисперсионного анализа. Сущность дисперсионного анализа мы рассмотрим в следующей теме.

Планы дисперсионного анализа могут быть полные, если используются все возможные сочетания условий (аналогично ПФЭ), и неполные, которые применяются тогда, когда полные планы оказываются громоздкими и неэкономичными. Сокращение планов происходит, как и ранее, за счет исключения некоторых сочетаний факторов (взаимодействий) и уровней случайным или традиционным образом.

Наиболее популярными из неполных планов является симметричный план "латинский квадрат" или его вариации. Этот план целесообразно применять, когда из всех существенных факторов можно выделить один доминирующий (самый существенный).

В планах дисперсионного анализа часто факторы обозначают латинскими буквами а уровни - индексами при соответствующих факторах: .

Пример 4.3. Построить план "латинский квадрат" симметричного трехфакторного четырехуровневого эксперимента. Доминирующий фактор .

Решение

Исходные данные: .

Введем обозначения факторов и уровней:

- уровни доминирующего фактора ;

- уровни фактора ;

- уровни фактора .

План приведен в табл. 4.2.

Таблица 4.2. План "латинский квадрат"  
Уровни Уровни  
 
 
 
 
 

В этом плане число наблюдений . В полном плане их было бы . Сокращение произошло за счет исключения некоторых комбинаций: , и др.

Заметим, что план может быть и несимметричным. В этом случае вместо квадрата будет прямоугольник. И еще: выделение доминирующего фактора не является существенным, то есть, внутри квадрата можно располагать уровни любого из действующих факторов.

В практике планирования экспериментов встречаются и такие неполные планы: один из факторов меняет свои значения при фиксированных значениях других. То есть исследуется поочередно влияние каждого фактора в отдельности.

Иногда применяются и так называемые рандомизированные планы. В таких планах сочетания факторов и уровней для каждого прогона модели выбираются случайно. Вид случайности и объем выборки определяется исследователем.


⇐ Предыдущая19202122232425262728Следующая ⇒





Date: 2015-07-17; view: 1284; Нарушение авторских прав


mydocx.ru - 2015-2025 year. (0.988 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию