Классификация случайных процессов

Случайная величина , зависящая от одного неслучайного вещественного аргумента , называется случайным процессом. является случайной величиной при каждом фиксированном

значении аргумента. Обычно (во всяком случае, для процессов, протекающих в технических системах) в качестве вещественного аргумента выступает время, поэтому случайный процесс будем обозначать .

Определим два понятия, присущие случайным процессам: сечение и реализация (рис. 3.20).

Сечением случайного процесса называется случайная величина , являющаяся значением случайного процесса в фиксированный момент времени .

Реализацией случайного процесса называется функция времени , описывающая течение процесса в некотором -м опыте.

Рис. 3.20. Реализации и сечения случайного процесса

Случайный процесс и аргумент могут быть дискретными или непрерывными.

Очевидно, вследствие особенностей представления информации в компьютере моделью случайного процесса будет модель дискретной последовательности дискретного случайного процесса. Следовательно, чтобы смоделировать реальный случайный процесс, необходимо выполнить следующее:

• разбить интервал исследования на M временных точек , которых должно быть столько, чтобы обеспечить необходимую точность воспроизведения исследуемого процесса;
• выполнить одну реализацию случайного процесса, то есть для каждого момента времени определить сечение, разыграв случайное число, обладающее характеристиками случайного процесса;
• определить аналогичные сечения для каждой из реализаций случайного процесса (число выбирается таким, чтобы обеспечить необходимые точность и достоверность результатов).

Случайные процессы могут быть:

• стационарные;
• нестационарные.

На практике часто встречаются случайные процессы, у которых все реализации однородны в вероятностном смысле. То есть значения всех сечений представляют собой случайные числа, одинаково распределенные с одинаковыми матожиданиями и дисперсиями:

Такие процессы называют стационарными.

Что касается автокорреляционной функции , то ее значение в стационарном процессе зависит только от разности и не зависит от того, в каком месте временной оси находятся точки и .

Для стационарного процесса нет необходимости определять искомые характеристики для всех сечений, а достаточно только для одного сечения реализаций случайного процесса. То есть вместо измерений выполнить только измерений. По данным этих измерений рассчитываются оценки и , которые в силу стационарности и являются оценками характеристик всего случайного процесса и .

Если сечения случайного процесса неоднородны в вероятностном смысле, то такой процесс называется нестационарным.

В работе модели стационарного процесса может присутствовать и нестационарный период. Это разного рода переходные процессы. Например, характеристики начального периода работы модели нестационарные из-за того, что начальные установки характеристик процесса были не равны характеристикам, значения которых установятся в дальнейшем. Естественно, речь идет о средних значениях характеристик.

Важнейшим свойством случайного процесса является свойство эргодичности.

Свойство эргодичности заключается в том, что все реализации случайного процесса имеют одинаковые статистические характеристики. Отсюда следует, что одна реализация случайного процесса характеризует весь случайный процесс , следовательно, для определения статистических характеристик процесса достаточно выполнить одну реализацию.

Обычно рассматривают свойство эргодичности по отношению к одной какой-либо характеристике случайного процесса. Относительно оценки матожидания свойство эргодичности формально выглядит так:

Свойством эргодичностиобладают многие случайные процессы и, в том числе, все стационарные.

Таким образом, можно сформулировать определение эргодиче-ского процесса.

Случайный процесс называется эргодическим, если его основные характеристики и могут быть получены не только усреднением по множеству реализаций, но и усреднением по времени одной реализации.

Например, при изучении флуктуационного шума радиоприемников, представляющего собой стационарный случайный процесс, достаточно ограничиться измерением сечений в течение заданного времени в одном конкретном образце. Результаты, полученные при обработке данных измерений, могут быть распространены на все идентичные радиоприемники.