Приложение 3 функциональное подобие как развитие теории подобия

Как было показано, свойства объекта исследований, воздействия на него и его состояние после приложения воздействий характеризуются множествами физико-механических параметров соответственно Р, N и Y. Для конкретной задачи первые два множества объединяют независимые (входные) параметры, а третье - зависимые (выходные).

Если для некоторой группы объектов эти множества тождественны, т.е. состоят из качественно одинаковых параметров, то эти объекты будут принадлежать к одному классу. Для конструкций одного класса будет общая функция Y = f (Р, N).

Все физические объекты одного класса находятся вотношении функционального подобия.

Определение. Два физических объекта находятся в отношении функционального подобия, если их свойства, внешние воздействия и параметры состояний можно однозначно соответственно описать качественно одинаковыми множествами P⁽¹⁾, N⁽¹⁾, Y⁽¹⁾ и Р⁽²⁾, N⁽²⁾, Y⁽²⁾ и при этом существует такая функция f, что Y⁽¹⁾ = f (P⁽¹⁾, N⁽¹⁾) и Y⁽²⁾ = f (P⁽²⁾, N⁽²⁾).

Функциональное подобие, так же как и другие виды подобия, может быть полным и неполным. При неполном будем иметь Y^* = f (P^*, N^*), причем Y* = Y⁽¹⁾nY⁽²⁾, Р* = P⁽⁴⁾nP⁽²⁾, N* = N⁽¹⁾nN⁽²⁾ (где Y⁽¹⁾, P⁽¹⁾, N⁽¹⁾; Y⁽²⁾, P⁽²⁾, N⁽²⁾ - указанные множества параметров соответственно двух неполно функционально подобных объектов).

Таким образом, функциональное подобие характеризует объекты к конструкции одного класса, в которых протекают явления одинаковой физической природы. Основным требованием наличия функционального подобия является инвариантность функции Y = f (P, N) и вычисляющего ее алгоритма. Это определяет необходимость однородности функции, т.е. независимости ее от размерности элементов множеств, входящих в ее область определения и результат.

Функциональное подобие как дальнейший этап развития теории подобия, обобщения механического подобия твердых деформируемых тел на механические системы одного класса - наиболее общий вид подобия физических объектов. Простое и расширенное подобия могут быть получены в виде частных случаев функционального введением дополнительных ограничений на условия моделирования.

Применение функционального подобия при соответствующем его обосновании существенно упрощает изготовление физических моделей и уменьшает затраты ресурсов на экспериментальные исследования.

Рассмотрим основные теоретические положения функционального подобия.

Инвариантами функционально подобных объектов будут функции, поэтому первостепенное значение приобретает корректность выбора из множества параметров, которые с необходимой для данной конкретной задачи степенью идеализации определяют свойства объекта (множество Р), внешние воздействия (множество N) и параметры напряженно-деформированного состояния (множество Y).

Теорема 1: Необходимым и достаточным условием корректности выбора множеств Р, N, Y является наличие функционального соответствия (см. п. 1.1.14 настоящих методических рекомендаций) между множеством Y, с одной стороны, и множеством Р и N с другой.

Доказательство. Функциональное соответствие характеризуется наличием функции y_j = f_j (P, N), где y_j = Y, , , , N = { n_К }. Для доказательства достаточности необходимо доказать справедливость утверждения: "есливсе , то все и ". Так как и , а и , то, следовательно, и , и . Для доказательства необходимости предположим, что существуют такие и , для которых . Тогда, очевидно, в этих множествах имеется хотя бы по одному элементу, соответственно и , которым нельзя поставить в соответствие ни один элементу , что противоречит определению функционального соответствия. Следовательно, для любого при наличии функционального соответствия всегда найдутся такие и , что . Необходимо отметить, что установление функционального соответствия между множествами Y и P, N является ответственной неформальной процедурой, определяющей дальнейшую стратегию и тактику исследований.

Из этой теоремы вытекает одно важное следствие: для проверки алгоритма расчетной модели объекта может быть использована некоторая физическая модель, функционально подобная объекту исследований.

Для разработки функционально подобных физических моделей может быть рекомендован принцип, основанный на исследовании критериев простого подобия.

Теорема 2: Для функционального подобия объектов достаточно, чтобы количество определяющих безразмерных комплексов - критериев подобия - для этих объектов было равным, а их буквенные выражения одинаковыми.

Доказательство. Пусть свойства, воздействия и параметры состояния двух объектов характеризуются соответственно множествами P⁽¹⁾, N⁽¹⁾, Y^{(1 )} и P⁽²⁾, N⁽²⁾, Y^{(2 )} которые являются подмножествами соответственно множеств P, N, Y, т.е. , , , .

В соответствии с определением функционального подобия, если существует функция Y = f_j (P, N), то справедливо и . При том, если множества P⁽¹⁾, N⁽¹⁾, и P⁽²⁾, N⁽²⁾) будут соответственно качественно и количественно одинаковы, что означает подобие в характере воздействий и исходных параметрах объектов, то, очевидно, Y⁽¹⁾ и Y⁽²⁾ будут также качественно и количественно одинаковы и каждый параметр и с точностью до безразмерных коэффициентов может быть представлен в виде произведения различных степеней элементов множеств P⁽¹⁾, N⁽¹⁾, и P⁽²⁾, N⁽²⁾ и, соответственно, функции произведений различных величин являются гомогенными и, следовательно, в соответствии с π -теоремой теории подобия и размерностей [27] могут быть представлены в виде зависимости между безразмерными комплексами-критериями подобия. Функции и при записи в критериальной форме будут отличаться только постоянными коэффициентами. А так как количество критериев подобия и их алгебраические выражения не зависят от постоянных, то для первого и второго объектов количество критериев подобия будет равным, а их выражения одинаковы.

Эта теорема позволяет без установления функционального соответствия между множествами Y и Р, N в качестве функционально подобных применять такие физические модели, расчетные модели которых при идентичности граничных условий содержат такие же элементы (суперэлементы), что и расчетная модель натурной конструкции. При этом общие расчетные схемы модели и натуры могут быть геометрически не подобны.

Если в расчетную модель физической модели входят все элементы (суперэлементы) расчетной модели натурной конструкции, будем иметь полное функциональное подобие, в противном случае - неполное.

Физический и численный эксперименты проводятся с целью получения некоторой информации о состоянии и поведении объекта исследований при определенных внешних воздействиях. Так как параметры объекта и воздействия на него имеют стохастический характер, то и параметрам состояния объекта будет присуща некоторая неопределенность. Очевидно, что чем меньше будет эта неопределенность, тем больше будет ценность результатов исследований.

В теории информации [30] мерой априорной неопределенности является специальная характериcтика, называемая энтропией. Она вычисляется как сумма произведений вероятностей различных состояний системы на логарифмы этих вероятностей, взятая с обратным знаком. Из двух систем меньшей неопределенностью обладает та, у которой энтропия меньше.

Теорема 3: "Из нескольких функционально подобных физических моделей, содержащих необходимое и достаточное количество элементов и связей между ними для выполнения тех же функций, что и в натурном объекте, предпочтительней та, энтропия которой будет меньше".

Доказательство. Энтропия сложной системы обладает свойством аддитивности, заключающимся в том, что при объединении независимых систем их энтропии складываются. Объект исследований - система с непрерывным числом состояний ("непрерывной системой", состояние которой описывается некоторым количеством случайных величин х₁, х₂,…, х_п, с плотностью совместного распределения f (х₁, х₂,…x_п).Объект исследований в этом случае можно рассматривать как объединение более простых систем Χ₁, Χ₂,…, Χ_п.

Энтропию сложной системы, (при независимых x_i) можно вычислить по формуле:

где H^i-1 - энтропия системы; Δx_i -дискретность изменения x_i.

Так как все энтропии одного знака, то, очевидно, что, чем меньше n, тем меньше будет общая энтропия системы.

Не вычисляя энтропии альтернативных функциональных моделей, для практических целей можем руководствоваться правилом: чем меньше изменчивых параметров содержит функциональная физическая модель, тем ее энтропия меньше, а, следовательно, сама модель предпочтительней. Применение его позволит существенно упростить физические модели сложных объектов, состоящих из однотипных элементов.

Все сказанное позволяет более объективно подойти к разработке, физических моделей, необходимых для проведения комплексных исследований сложных конструкций.