Геометрическое применение определённого интеграла.

6.1. Вычисление площадей плоских фигур.

Из геометрического смысла интеграла следует, что площадь криволинейной трапеции, расположенной выше оси абсцисс (f(x)≥0), равна определенному интегралу:

(1)

S-?: y= ; y=0; x=0;x=1.

Если криволинейная трапеция расположена ниже оси Ох (f(x)<0),то площадь криволинейной трапеции равна определенному интегралу, взятому с противоположным знаком («-»).

(2)

Пример: у= ; у=0; х=-1; х=-2.

х=-2 х=-1 у

S=

х

Формулы 1 и 2 можно объединить: S= (3)

Площадь фигуры ограниченной кривыми и , прямыми х=а и х=в при условии, что для всех , находятся по формуле (4)

у

а в х

Пример: Найти S трапеции, ограниченной ; .

Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то прямыми, параллельными оси Оу её можно разбить на части, так, чтобы можно было применить уже известные формулы.

;

Пример: Вычислить S фигуры, ограниченной осью Ох, и у=sin x; y=cos x.

sin x=cos x*cos x

tg x=1

x= ; n

Аналогично если криволинейная трапеция ограничена прямыми у=с и у=d, осью Оу и непрерывной кривой х=φ(у) 0

Пример: Найти S фигуры, ограниченной кривой ; у=8 и осью Оу.

6.2. Вычисление объёма тела вращения.

1)Пусть криволинейная трапеция аАВв, ограниченная графиком неопределённой функции y=f(x) 0, прямыми х=а; х=в и отрезком оси абсцисс, вращающейся вокруг оси Ох.

Эта трапеция опишет тело, которое называется телом вращения. Найдем его объём(V).

Разделим отрезок на части точками . Через точки деления проведём плоскости, перпендикулярные оси Ох, в результате получаются поперечные сечения, которые представляют собой окружности радиуса . В результате такого деления всё тело разделяется на

i -го тела с высотой

Тогда, объём всего тела .

2) Внутри каждого частичного отрезка возьмём точку и проведём через неё поперечное сечение. Заменим каждый i -тый слой с объёмом с высотой и основанием, полученным в результате сечения через точку ().

3) Составим сумму объёмов элементарных цилиндров (1)

Сумма (1) есть интегральная сумма на отрезке . Эта сумма ≈ объёму тела V.

4) Выберем шаг деления - наибольшее из d , при .

5) За объём тела вращения примем lim интегральной суммы (1) при , т.е. (2)=

Если предел (2) существует и конечен, а f(x)- непрерывная функция, то предел (2) существует и равен определённому интегралу функции на .

Замечание: Если криволинейная трапеция cCDd ограничена графиком напрерывной функции ; прямыми у=с, у=d и отрезком оси ординат, вращающимся вокруг оси Оу, этот объём тела вращения равен (4)

Примеры:

1)Вычислить объём тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями ; у=0, х=2

2) Найти объём тело, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной ; х=0; у=4.

.