Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Формула Ньютона-Лейбница.Пусть функция y = f(x) интегрируема на отрезке [ a, b ]. Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и F(x) какая-либо ее первообразная на этом отрезке (F¢ (x)= f(x)), то имеет место формула (1). Доказательство: Точками разобьем отрезок [a, b] на n частичных отрезков
a=x0 x1 x2 xi-1 xi b=xn Рассмотрим тождество: F(b) – F(a) = F(xn) – F(x0) = (F(xn) – F(xn-1)) + (F(xn-1 – F(xn-2)) +... +(F(x1) – F(x0)). К каждой разности в скобках применим формулу Лагранжа: f(b) – f(a) = f¢ (c)×(b – a). Получим: F(b) – F(a) = F¢ (cn)(xn – xn-1) + F¢ (cn-1)(xn-1 – xn-2) +...+ F¢ (c2)(x2 – x1) + F¢ (c1)(x1 – x0) = n n n å F¢ (ci)(xi – xi-1) = å f(ci)(xi – xi-1), т. е. F(b) – F(a) = å f(ci)(xi – xi-1) (2), где ci – некоторая I=1 I=1 I=1 точка интервала (xi-1; xi). Т. к. функция y = f(x) непрерывна на [ a, b ], то она интегрируема на этом отрезке. Поэтому существует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу от f(x) на отрезке [ a, b ]. Перейдем в равенстве (2) к пределу при n ® ¥ (l ® 0), получим , т. е. . Ч.т.д. Равенство (1) называется формулой Ньютона-Лейбница. b Разность F(b) – F(a) обозначают следующим образом: F(x) ç a и формулу (1) в этом случае можно переписать . Формула (1) дает удобный способ вычисления определенного интеграла: - надо найти первообразную подинтегральной функции – F(x); - посчитать разность значений этой первообразной на концах отрезка [ a, b ] – F(b) – F(a). Примеры. 1). ; 2). .
|