Вычисление определённого интеграла.

5.1. Формула Ньютона – Лейбница.

.

Например,

5.2. Интегрирование подстановкой. Замена переменной.

Теорема. Если:

1) и её первообразная непрерывны на отрезке .

2)множество значений функции при является множество, заполняющее отрезок от [ а;в ].

3) и при этом ,

то (*) - формула замены переменной.

Доказательство: Пусть F(x) – первообразная для функции f(x) на отрезке [ а;в ].

Тога по формуле Ньютона- Лейбница (1).

Покажем, что (1) равна (*).

Тогда является первообразной для функции (1) на отрезке .

Тогда по формуле Ньютона – Лейбница

Отметим некоторые особенности этой формулы:

1) при вычислении определённого интеграла по формуле (1) возвращаться к старой переменной не надо.

2) часто вместо подстановки применяют подстановку .

3) обязательно надо менять пределы интегрирования при замене переменной.

Примеры:

1)

5.3. Интегрирование по частям в определённом интеграле.

Теорема: Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на [ а;в ], то имеет место

(2).

Доказательство: для всех : любые (uv)’=u’v+uv’=>uv являются первообразной для u’v+uv’;тогда при любых справедливо равенство:

Примеры: