Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Определение определенного интеграла.Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b], a < b. Выполним следующие действия: 1. Точками разобьем отрезок [a, b] на n частичных отрезков
a=x0 x1 x2 xi-1 xi b=xn
2. На каждом частичном отрезке выберем произвольную точку ci Î [ xi-1; xi ]и вычислим значения функции f(сi). 3. Умножим найденные значения функции f(ci) на длину соответствующего единичного отрезка Dxi = xi – xi-1. Т.е. получим произведение: f(ci)Dxi. 4. Просуммируем полученные произведения. Получим (1) Полученную сумму (1) называют интегральной суммой функции y=f(x) на отрезке [a, b]. 5. Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка: λ=max{ } (i=1, 2..n). λ - шаг разбиения. 6. Перейдем к пределу интегральной суммы (1) при l ® ¥ (при этом n ® ¥): (2) Если предел (2) существует, то он называется определенным интегралом функции y=f(x) на отрезке [a, b] и обозначается Определение. Определенным интегралом называется число, равное пределу интегральной суммы при шаге разбиения l ® 0, если этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка [a, b] на частичные отрезка ни от выбора внутренних точек сi. Таким образом, согласно определению: (3). Сама функция f(x) при этом называется интегрируемой на отрезке [a, b]. Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования; f(x) – подинтегральной функцией; f(x)dx – подинтегральным выражением; x – переменной интегрирования; отрезок [a,b] – областью (отрезком) интегрирования. При фиксированных пределах интегрирования a и b определенный интеграл (3) есть постоянное число. Определение определенного интеграла при помощи схемы 1. – 6. принадлежит Римману, поэтому интеграл (3) называется риммановым. Существуют и другие конструкции интегралов. Нам они не понадобятся. Сформулируем теорему существования определенного интеграла: Теорема (Коши). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она интегрируема на этом отрезке, т.е. определенный интеграл существует.
Некоторые свойства определенного интеграла, следующие непосредственно из его определения (3):
.
3. Если подинтегральная функция равна единице, то определенный интеграл этой функции по отрезку [a,b] равен длине этого отрезка, т.е.: .
|