Доверительный интервал

При большом количестве вариант N выборочные средние M распределены приближенно нормально вокруг генеральной средней m со стандартным отклонением s. Это значит, что относительное отклонение выборочного среднего M от генерального среднего m, т.е. величина t=(M-m)/s распределена так же, как относительные отклонения вариант x от m, т.е. величины u=(x_i-m)/s в нормально распределенной генеральной совокупности. Поэтому вероятность того, что m будет находиться в пределах m ± ts, можно приближенно описывать функцией, выражающей площади под нормальной кривой в заданных пределах. Значения критерия t приводятся в специальной таблице для заданного уровня значимости (Приложение 1). Получаемый интервал (x-s; x+s) называют доверительным интервалом для генеральной средней. Его смысл заключается в следующем: если взято 100 выборок объемом N каждая и, следовательно, получено 100 интервалов (M-s; M+s). Все они будут несколько различаться между собой положениями своих центров M, но»68 из этих интервалов покроют m.

Пример 2.12. Использование функции ДОВЕРИТ () MS Excel для расчета доверительного интервала для средней генеральной совокупности. Доверительный интервал – это интервал с обеих сторон от средней в выборке.

Синтаксис: ДОВЕРИТ (α; станд откл; размер),

где

α – это уровень значимости, используемый для оценки уровня надежности. Уровень надежности равняется 100(1 – α) процентам, или, другими словами, α равное 0,05 означает 95-процентный уровень надежности.

Станд откл - это стандартное отклонение выборочной совокупности для интервала данных, предполагается известным.

Размер - это объем выборки.

Замечания:

· Если размер не целое, то оно усекается.

· Если предположить, что альфа равняется 0,05, то нужно определить ту часть стандартной нормальной кривой, которая равняется (1 – α), или 95 процентам. Это значение из таблицы (см. приложение 1) равно 1,96. Доверительный интервал, следовательно, определяется следующим образом:

(2.26)

Предположим, что при перечете 200 деревьев на пробной площади средний арифметический диаметр равен 14,4 см со стандартным отклонением 15,0 см. В таком случае, мы можем быть на 95 процентов уверены в том, что среднее для генеральной совокупности находится в интервале:

или:

ДОВЕРИТ (0,05;15;200) равняется 1,06066. Другими словами, средний диаметр генеральной совокупности равен 14,4 ± 1,06066 или от 13,3 до 15,5 см.

Контрольные вопросы и задания

1. Назовите основные характеристики эмпирических совокупностей и особенности их формирования.

2. Приведите примеры графического представления сгруппированных эмпирических совокупностей.

3. Приведите основные элементы изложения статистического заключения.

4. Приведите статистические показатели, характеризующие центральные тенденции и укажите область их применения.

5. Дайте определения и поясните суть следующих терминов: размах варьирования; дисперсия; среднеквадратическое (стандартное) отклонение; коэффициенты вариации и дифференциации.

6. Дайте статистическую характеристику и графическое изображение кривой нормального распределения.

7. Охарактеризуйте статистически меру скошенности и крутизны рядов распределения частот.

Глава 3.