Показатели скошенности и крутизны

Для больших выборок (N =100 и более) вычисляют еще два статистических показателя, характеризующих распределение численностей. Дело в том, что в одних случаях распределение численностей является нормальным и описывается уравнением Лапласа-Гаусса. В других случаях распределения отличаются от нормального. Кривая распределения при этом может быть скошенной. Она может быть также островершинной или, наоборот, туповершинной.

Скошенность кривой называют асимметрией. В качестве меры асимметрии принят средний куб отклонения:

<x³> = (1/N) S пх³ = (1/N) Sn (x – M)³. (2.23)

В самом деле, если Snx =0, то Snх³ =0 только в случае строго симметричного распределения.

Знак величины <x³> однозначно связан с направлением асимметрии. При левосторонней асимметрии, когда вершина кривой сдвинута влево, а правая ветвь кривой растянута, - знак поло­жительный, при правой – отрицательный.

В качестве меры асимметрии обычно принимают не <x³>, а его стандартизованное значение, т. е. Выраженное в долях стандартного отклонения, для того чтобы оно не зависело от единиц измерения признака. Эту меру называют показателем асимметрии или мерой косости. Таким образом, показатель асимметрии

A = <x³> / s³. (2.24)

При A =0 кривая распределения симметрична, но это не оз­начает того, что она нормальна. Кривая распределения может иметь крутизну, отличную от нормальной кривой. Она может быть крутой или пологой, иногда двух- или многовершинной.

Пример 2.10 использования функции СКОС() MS Excel для расчета асимметрии распределения. Асимметрия характеризует степень несимметричности распределения относительно его среднего. Положительная асимметрия указывает на отклонение распределения в сторону положительных значений. Отрицательная асимметрия указывает на отклонение распределения в сторону отрицательных значений.

Синтаксис: СКОС (число1;число2; …), где число1, число2, … – это от 1 до 30 аргументов, для которых вычисляется асимметричность. Можно использовать массив или ссылку на массив вместо аргументов, разделяемых точкой с запятой.

Замечания:

· Аргументы должны быть числами или именами, массивами или ссылками, содержащими числа.

· Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит тексты, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются; однако, ячейки с нулевыми значениями учитываются.

На рис. 2.8 приведено окно программы MS Excel, демонстрирующее применение функции СКОС() для определения коэффициента асимметрии А распределения толщины деревьев сосны, записанных в ячейках А2-А21 (см. пример 2.1). СКОС (A2:A21) равняется 0,55, т.е. правая ветвь растянута.

В нормальном распределении только 3 варианты наблюдения из 1000 лежат вне пределов утроенного стандартного отклонения в ту и другую стороны от средней величины. Если за эти пределы выходит большее число единиц совокупности, то такое явление, называемое эксцессом, сопровождается большей крутизной кривой, т. е. Большим скоплением вариант около M, чем в нормальном распределении. Получаемая кривая оказывается островершинной. Если значения признака (варианты) расположены в более узких пределах, чем M±3s, то это явление называют дефектом. Кривая оказывается плосковершинной. В статистике степень крутизны кривой распределения характеризуется показателем, названым эксцессом. Эксцесс положителен при островершинной кривой и отрицательный – при плосковершинной.

Показатель эксцесса обозначают буквой Е и вычисляют по формуле:

E = <x⁴>/s⁴ –3, (2.25)

где

<x⁴> = (Sx⁴)/N.

В дальнейшем для вычисления показателя асимметрии и эксцесса будут указаны более удобные формулы, использующие значения моментов ряда или средних отклонений вариант ряда от средней M.

Пример 2.11 использования функции ЭКСЦЕСС() MS Excel для расчета эксцесса множества данных. Эксцесс характеризует относительную остроконечность или сглаженность распределения по сравнению с нормальным распределением. Положительный эксцесс обозначает относительно остроконечное распределение. Отрицательный эксцесс обозначает относительно сглаженное распределение.

Синтаксис: ЭКСЦЕСС (число1;число2; …), где число1, число2, … – это от 1 до 30 аргументов, для которых вычисляется эксцесс. Можно использовать массив или ссылку на массив вместо аргументов, разделяемых точкой с запятой.

Замечания:

· Аргументы должны быть числами или именами, массивами или ссылками, содержащими числа.

· Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит тексты, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются; однако, ячейки с нулевыми значениями учитываются.

На рис. 2.8 приведено окно программы MS Excel, демонстрирующее применение функции ЭКСЦЕСС() для расчета показателя эксцесса Е распределения толщин сосны, записанных в ячейках А2-А21 (см. пример 2.1). ЭКСЦЕСС (A2:A21) равняется 0,814, что говорит об островершинности кривой.