Д. Интегрирование простейших рациональных дробей

Определение 3. Рациональной дробью называется дробь вида , где и – многочлены степени и соответственно.

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. , и неправильной – в противном случае ().

Неправильная рациональная дробь путем деления многочленов может быть представлена в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

Простейшей рациональной дробью называется правильная дробь одного из следующих видов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Интегралы от рациональных дробей 1), 2) находятся методом замены переменной:

[положим тогда ] =

[возвращаемся к переменной x ] = ;

[ ] = [возвращаемся к переменной x ] = .

Заметим, что любая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде конечной суммы простейших рациональных дробей 1-4, например, методом неопределенных коэффициентов.

Пример 7. Вычислить интеграл .

Решение. [сделаем замену ] = .