Понятие об интеграле.

Рассмотрим другой подход к задаче вычисления площади криволинейной трапеции. Для простоты будем считать функцию f неотрицательной и непрерывной на отрезке [а; b] тогда площадь S соответствующей криволинейной трапеции можно приближенно подсчитать следующим образом.

Разобьем отрезок [а; b] на n отрезков одинаковой длины точками x₀ = а<x₁ < x₂ < … <x_n-1 < x_n = b и пусть , где k = 1, 2,..., n — 1, n. На каждом из отрезков [x_k-1; x_k] как на основании построим прямоугольник высотой F(x_k-1). Площадь этого прямоугольника равна:

а сумма площадей всех таких прямоугольников (рис. 1) равна:

В силу непрерывности функции f объединение построенных прямоугольников при большом n, т. е. при малом Δx, «почти совпадает» с интересующей нас криволинейной трапецией. Поэтому возникает предположение, что Sn≈S при больших n. (Коротко говорят: «S_nстремится к S при n, стремящемся к бесконечности»— и пишут: S_n→S при n→∞.)Предположение это правильно. Более того, для любой непрерывной на отрезке [а; b] функции а (не обязательно неотрицательной) S_n при n→∞ стремится к некоторому числу. Это число называют (по определению) интегралом функции f от а до b и обозначают , т. е.

при n→∞ (1)

(читается: «Интеграл от а до b эф от икс дэ икс»). Числа а и b называются пределами интегрирования: а — нижним пределом, b — верхним. Знак называют знаком интеграла. Функция f называется подынтегральной функцией, а переменная х — переменной интегрирования. Итак, если f(х)≥0 на отрезке [а; b] то площадь S соответствующей криволинейной трапеции выражается формулой

(2)

Для приближенного вычисления интеграла можно рассматривать суммы S_n. Лучше, однако, воспользоваться суммами

,

слагаемые которых (в случае положительной функции f) равны площадям трапеции, «вписанных» в криволинейную трапецию и ограниченных ломаными, как это изображено на рисунке 2.Действительно, применяя формулу площади трапеции, получаем: