Определенный интеграл, вычисление площадей

3. Вычисление площадей плоских фигур.

Площадь фигуры, заключенной между кривыми и на отрезке , вычисляется по формуле

,

при этом для (рис. 9).

Задача. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

и . Сделать чертеж.

Решение. Выполним чертеж.

Первое уравнение определяет параболу, а второе – прямую линию.

Для построения параболы найдем координаты ее вершины и точки пересечения ее с осями координат.

Если уравнение параболы , то вершина параболы находится в точке . В данной задаче , . Итак, вершина параболы – точка (3;– 4).

Точки пересечения параболы с осями.

С осью Ox: , тогда . Решив квадратное уравнение (прил.1, п. 2), получаем . Точки пересечения параболы с осью есть точки (1;0) и (5;0).

С осью Oy: , тогда . Точка пересечения параболы с осью есть точка (0;5).

Строим параболу по найденным точкам, замечая, что ветви параболы направлены вверх, т.к. (рис. 10).

Прямую строим по двум точкам, например,

при ; при .

Получены точки: .

0 1 3 5 6

–1

–4

Рис. 10

Найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:

.

Решим полученное квадратное уравнение:

Найдем соответствующие ординаты из уравнения y = x –1: . Итак, точки пересечения параболы и прямой есть точки .

Заштрихуем плоскую фигуру, ограниченную параболой и прямой (рис.10). Здесь функции и ограничивают фигуру соответственно снизу и сверху, то есть при .

Для нахождения искомой площади воспользуемся формулой

.

Ответ. Искомая площадь равна:

Замечание. Если одна из линий – гипербола, например, xy = –6, то ее можно построить по точкам. Удобно взять точки с абсциссами и вычислить соответствующие им ординаты y, в нашем случае по формуле .

Если в ответе задачи получен логарифм числа, то значение логарифма можно взять из прил.1, п. 9.

.

.

Следовательно, экстремум в точке есть. Так как , то в точке – максимум функции.

6. Найдем значение функции в точке максимума:

.

Ответ. – точка максимума функции .