Законы радиоактивного распада ядер

Способность ядер самопроизвольно распадаться, испуская частицы, называется радиоактивностью. Радиоактивный распад - статистический процесс. Каждое радиоактивное ядро может распасться в любой момент и закономерность наблюдается только в среднем, в случае распада достаточно большого количества ядер.
Постоянная распада λ - вероятность распада ядра в единицу времени.
Если в образце в момент времени t имеется Nрадиоактивных ядер, то количество ядер dN, распавшихся за время dt пропорционально N.

Проинтегрировав (1) получим закон радиоактивного распада

N₀ - количество радиоактивных ядер в момент времени t = 0.
Cреднее время жизни τ -

.

(3)

Период полураспада T_1/2 - время, за которое первоначальное количество радиоактивных ядер уменьшится в два раза

Активность A - среднее количество ядер распадающихся в единицу времени

Активность измеряется в кюри (Ки) и беккерелях (Бк)

1 Ки = 3.7·10¹⁰ распадов/c,
1 Бк = 1 распад/c.

Распад исходного ядра 1 в ядро 2, с последующим его распадом в ядро 3, описывается системой дифференциальных уравнений

гдеN₁(t) и N₂(t) -количество ядер, а λ₁ иλ₂ - постоянные распада ядер 1 и 2 соответственно. Решением системы (6) с начальными условиями N₁(0) = N₁₀; N₂(0) = 0 будет

,	(7a)
.	(7б)

Количество ядер 2 достигает максимального значения при .

Если λ₂ < λ₁ ( > ), суммарная активностьN₁(t)λ₁ + N₂(t)λ₂ будет монотонно уменьшаться.
Если λ₂ >λ₁ ( < ), суммарная активность вначале растет за счет накопления ядер 2.
Если λ₂ >>λ₁, при достаточно больших временах вклад второй экспоненты в (7б) становится пренебрежимо мал, по сравнению со вкладом первой и активности второго A₂ = λ₂N₂ и первого изотопов A₁ = λ₁N₁ практически сравняются. В дальнейшем активности как первого так и второго изотопов будут изменяться во времени одинаково.

A1(t) = N10λ1 = N1(t)λ1 = A2(t) = N2(t)λ2.

(8)

То есть устанавливается так называемое вековое равновесие, при котором число ядер изотопов в цепочке распадов связано с постоянными распада (периодами полураспада) простым соотношением.

(9)

Поэтому в естественном состоянии все изотопы, генетически связанные в радиоактивных рядах, обычно находятся в определенных количественных соотношениях, зависящих от их периодов полураспада.
В общем случае, когда имеется цепочка распадов 1→2→...n, процесс описывается системой дифференциальных уравнений

Решением системы (10) для активностей с начальными условиями N₁(0) = N₁₀; N_i(0) = 0 будет

(11)

где

(12)

Штрих означает, что в произведении, которое находится в знаменателе, опускается множитель с i = m.

83. Ядерные реакции. Термоядерные реакции.

Ядерные реакции – это превращение ядер атомов, вызванные воздействием на них элементарных частиц или других ядер. Так, под действием нейтронов происходит самопроизвольное (спонтанное) деление ядер радиоактивных элементов с большими атомными массами (урана-235, тория-232, протактиния-231, плутония-239). Ядра урана-235 и плутония-239 делятся нейтронами любых энергий, но особенно хорошо медленными нейтронами. Ядра урана-238 делятся только быстрыми нейтронами (с энергиями, не меньшими 1 МэВ). Деление тяжелых ядер может быть вызвано и другими частицами – протонами, дейдронами, альфа-частицами. При делении ядер урана-235 образуются осколки деления, которые представляют собой ядра элементов со средними массовыми числами в соотношении 2:3, а также свободные нейтроны (2-3) и γ-излучение. При этом выделяется значительная энергия (= 200 МэВ). Всего образуется около 80 различных осколков, которые разлетаются со скоростью, равной скорости света.

23592U + 10n→14055Cs + 9437Rb + 2 10n; 23592U + 10n→14054Xe + 9438Sr + 210n

23592U + 10n→14456Ba + 8936Kr + 3 10n.

Полученные осколки притерпевают ядерные превращения, в основном бета-распад

14054Xe → 14055Sr →14056Ba→14057Za→14058Ce (стабильный)

9437Rb→9438Sr→9439Y→9440Zn (стабильный).

Каждый из 2-3 образовавшихся при делении ядер урана нейтронов способен вызвать новый акт деления и т.д. Количество нейтронов нарастает в геометрической прогрессии – возникает ценная реакция деления, приобретающая взрывной характер.

Цепная реакция деления может начаться и происходить, если масса урана-235 достигает определенной величины. Наименьшее количество вещества, в котором возможна цепная ядерная реакция деления называется критической массой. Для урана-235 – это десятки кг, для урана-233 – 5-6 кг, для калифорния – около 1г. На этом основано устройство атомной бомбы. Ядерный заряд такой бомбы представляет 2 куска урана-235 или плутония-239 с докритической массой. При взрыве обычного взрывчатого вещества обе части соединяются, давая сверхкритическую массу. В земной атмосфере всегда имеется некоторое количество нейтронов за счет космических лучей. Их достаточно для начала реакции деления и запуска цепной реакции взрывного характера. Всего смесь продуктов деления содержит более 200 изотопов 36 элементов (большинство из них с небольшими периодами полураспада).

При использовании цепной реакции деления в ядерных реакторах создаются такие условия, что только один из нейтронов, образующихся при делении урана, будет вызывать акт деления. Количество делящихся в каждый момент ядер будет примерно одинаковым и количество выделяющейся энергии будет поддерживаться на каком-то определенном уровне, и выделяющееся тепло может быть использовано для получения электроэнергии (1г урана дает такое же количество энергии, как 2,5т угля). На этом основана работа атомных электростанций.

Термоядерные реакции. Кроме процесса деления тяжелых ядер, существует и другой способ получения энергии – синтез тяжелых ядер из более легких. Такие реакции протекают при очень высоких температурах (многие миллионы градусов), поэтому их называют термоядерными. При такой температуре кинетическая энергия ядер достаточна для преодоления их кулоновских сил отталкивания. В этих условиях ядра легких элементов, двигаясь с высокой кинетической энергией, будут сближаться на очень малые расстояния – порядка 10-15 м и объединяться в ядра более тяжелых элементов. Примером таких реакций является синтез ядер гелия из ядер дейтерия и трития:

21Н+21Н→32Не+10n; 31H+21Н→42He+10n; 21Н+21Н→31H+11р;

32 Не+32 Не→42He+211р.

В приведенных реакциях выделение энергии, рассчитанное на один нуклон, превышает выделение энергии при реакциях деления тяжёлых ядер.

На основе реакции синтеза ядер гелия из ядер дейтерия и трития основано действие водородной бомбы. Необходимая для начала этой реакции температура обеспечивается взрывом атомной бомбы, которая выполняет роль своеобразного запала. В водородной бомбе термоядерная реакция носит неконтролируемый характер. Осуществить управляемую термоядерную реакцию пока не удается.

102. Уравнение состояния идеального газа.

Уравнение состояния идеального газа (иногда уравнение Клапейрона или уравнение Менделеева — Клапейрона) — формула, устанавливающая зависимость между давлением, молярным объёмом и абсолютной температуройидеального газа. Уравнение имеет вид:

,

где

· — давление,

· — молярный объём,

· — универсальная газовая постоянная (R = 8,3144598(48) ^Дж⁄_{(моль∙К)})

· — абсолютная температура, К.

Так как , где — количество вещества, а , где — масса, —молярная масса, уравнение состояния можно записать:

где — концентрация атомов, — постоянная Больцмана.

Эта форма записи носит имя уравнения (закона) Менделеева — Клапейрона.

Уравнение, выведенное Клапейроном, содержало некую не универсальную газовую постоянную , значение которой необходимо было измерять для каждого газа:

Менделеев же обнаружил, что прямо пропорциональна , коэффициент пропорциональности он назвал универсальной газовой постоянной.

109. Работа в термодинамике.

В результате каких процессов может меняться внутренняя энергия? Вы уже знаете, что есть два вида таких процессов: совершение работы и теплопередача. Начнем с работы. Чему она равна при сжатии и расширении газа и других тел?
Работа в механике и термодинамике. В механике работа определяется как произведение модуля силы, модуля перемещения точки ее приложения и косинуса угла между ними. При действии силы на движущееся тело работа равна изменению его кинетической энергии.
В термодинамике движение тела как целого не рассматривается, речь идет о перемещении частей макроскопического тела друг относительно друга. В результате может меняться объем тела, а его скорость остается равной нулю. Работа в термодинамике определяется так же, как и в механике, но она равна не изменению кинетической энергии тела, а изменению его внутренней энергии.
Изменение внутренней энергии при совершении работы. Почему при сжатии или расширении тела меняется его внутренняя энергия тела? Почему, в частности, нагревается воздух при накачивании велосипедной шины?
Причина изменения температуры газа в процессе его сжатия состоит в следующем: при упругих соударениях молекул газа с движущимся поршнем изменяется их кинетическая энергия. Так, при движении навстречу молекулам газа поршень во время столкновений передает им часть своей механической энергии, в результате чего газ нагревается. Поршень действует подобно футболисту, встречающему летящий мяч ударом ноги. Нога сообщает мячу скорость, значительно большую той, которой он обладал до удара.
И наоборот, если газ расширяется, то после столкновения с удаляющимся поршнем скорости молекул уменьшаются, в результате чего газ охлаждается. Так же действует и футболист, для того чтобы уменьшить скорость летящего мяча или остановить его, - нога футболиста движется от мяча, как бы уступая ему дорогу.
При сжатии или расширении меняется и средняя потенциальная энергия взаимодействия молекул, так как при этом меняется среднее расстояние между молекулами.
Вычисление работы. Вычислим работу в зависимости от изменения объема на примере газа в цилиндре под поршнем (рис.13.1).

Проще всего вначале вычислить не работу силы , действующей на газ со стороны внешнего тела (поршня), а работу, которую совершает сила давления газа, действуя на поршень с силой . Согласно третьему закону Ньютона . Модуль силы, действующей со стороны газа на поршень, равен , где p - давление газа, а S - площадь поверхности поршня. Пусть газ расширяется изобарно и поршень смещается в направлении силы на малое расстояние . Так как давление газа постоянно, то работа газа равна:

Эту работу можно выразить через изменение объема газа. Начальный его объем V₁=Sh₁, а конечный V₂=Sh₂. Поэтому

где - изменение объема газа.
При расширении газ совершает положительную работу, так как направление силы и направление перемещения поршня совпадают.
Если газ сжимается, то формула (13.3) для работы газа остается справедливой. Но теперь , и поэтому (рис.13.2).

Работа A, совершаемая внешними телами над газом, отличается от работы самого газа A ´ только знаком: , так как сила , действующая на газ, направлена против силы а перемещение поршня остается тем же самым. Поэтому работа внешних сил, действующих на газ, равна:

При сжатии газа, когда , работа внешней силы оказывается положительной. Так и должно быть: при сжатии газа направления силы и перемещения точки ее приложения совпадают.
Если давление не поддерживать постоянным, то при расширении газ теряет энергию и передает ее окружающим телам: поднимающемуся поршню, воздуху и т. д. Газ при этом охлаждается. При сжатии газа, наоборот, внешние тела передают ему энергию и газ нагревается.
Геометрическое истолкование работы. Работе A´ газа для случая постоянного давления можно дать простое геометрическое истолкование.
Построим график зависимости давления газа от занимаемого им объема (рис.13.3). Здесь площадь прямоугольника abdc, ограниченная графиком p₁ =const, осью V и отрезками ab и cd, равными давлению газа, численно равна работе (13.3):

В общем случае давление газа не остается неизменным. Например, при изотермическом процессе оно убывает обратно пропорционально объему (рис.13.4). В этом случае для вычисления работы нужно разделить общее изменение объема на малые части и вычислить элементарные (малые) работы, а потом все их сложить. Работа газа по-прежнему численно равнаплощади фигуры, ограниченной графиком зависимости p от V, осью V и отрезками ab и cd, равными давлениям p₁, p₂ в начальном и конечном состояниях газа.

ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ

Под внутренней энергией термодинамической системы понимают кинетическую энергию теплового движения ее молекул и потенциальную энергию их взаимодействия. Она зависит от параметров состояния V,T. Внутренняя энергия идеального одноатомного газа прямо пропорциональна его абсолютной температуре:

Для газов, состоящих из более сложных молекул, также U ~ Т, но коэффициент пропорциональности другой. Это объясняется тем, что такие молекулы не только движутся поступательно, но и вращаются.