Напряжение и ток вторичной обмотки.

Для двухобмоточного трансформатора по схеме рисунок 2.3 могут быть записаны следующие уравнения:

u = r × i + L

di 1+ M di 2;

1 1 1

1 dt dt

- u = r × i + L

di 2+ M di 1.

2 2 2

2 dt dt

d

u r 1 + L 1

1 = dt

d M i dt ´ 1.

- u 2

d d i

M r 2+ L 2 2

dt dt

При переходе в р-область

u 1

- u 2

r + pL

= 1 1

pM

pM r 2+ pL 2

i

´ 1, (2.1)

i 2

где

p = d

dt,

r 1 и

r 2— активные сопротивления первичной и вторичной обмоток; М

— взаимная индуктивность между первичной и вторичной обмотками (определяется

рабочим потоком

F); L1 и L2 — соответственно индуктивности первичной и

Дифференциальные уравнения (2.1) получаются из уравнений обобщенной машины, если рассматривать связи обмоток по одной оси при частоте вращения ротора, равной нулю, и заменить индексы α и β на 1 и 2, отнеся их соответственно к первичной и вторичной обмоткам трансформатора.

Первичная и вторичная обмотки трансформатора не имеют электрической связи, и мощность из одной обмотки в другую передается электромагнитным путем. Для усиления связи обмотки располагаются на ферромагнитном сердечнике — магнитопроводе.

Анализ уравнений трансформатора начнем с уравнений идеального трансформатора.

В идеальном трансформаторе

r 1 = 0 и

r 2= 0

и потери в стали магнитопровода не

стали, и потоки рассеяния равны нулю.

= ¥, весь поток замыкается по

c = (2.2)

Для идеального трансформатора, в котором нет потерь и весь поток сцеплен с первичной и вторичной обмотками (рассеяние отсутствует), с=1, т.е. связь между обмотками полная.

В реальных трансформаторах существуют потоки рассеяния первичной

F s 1 и

вторичной

F s 2

обмоток, поэтому электромагнитная связь в них неполная и с<1. В

связи с этим вводится понятие коэффициента электромагнитного рассеяния:

s = 1- c 2= 1-

M 2

L 1× L 2

(2.3)

Потоки рассеяния имеют важное значение для процессов электромагнитного преобразования в трансформаторах, и считать, что они вредные, и стараться свести их

к нулю не следует.

В силовых трансформаторах имеет место высокий коэффициент электромагнитной связи (с=0,93-0,999), соответственно невелико и рассеяние (s =0,07-0,001).

В идеальном трансформаторе при синусоидально изменяющемся магнитном потоке

u 1 = - e 1=

d Y1 dt

= w × d F ×sin(wt)) = w × w ×F × cos(wt);

ü

ï

u 2= e 2

= - d Y2

dt

d

= - w 2 ×

dt

(F m

×sin(wt)) = - w × w ×F

× cos(wt).ï

В (2.4)

m — амплитудное значение потока трансформатора, а

u» e, так как падения

E 1=

w × w ×F =

2 × p × f × w ×F = 4,44 × f × w ×F; ü

E = w × w 2×F m =

2 2

2 × p × f × w ×F

= 4,44 × f × w 2

×F,ï

здесь w = 2 × p × f.

Отношение напряжений в идеальном трансформаторе называется коэффициентом трансформации:

n 12

= U 1

U 2

= E 1 E 2

= w 1 w 2

(2.6)

Так как в идеальном трансформаторе

U 1 × I 1 = U 2× I 2, то токи в первичной и

вторичной обмотках можно определить по формулам

= n 12× I

(2.7)

Уравнения (2.1) могут быть переписаны в виде

u 1 = r 1 × i 1 + pL 1 i 1 + pMi 2;

- u 2 = r 2 × i 2 + pL 2 i 2 + pMi 1.

(2.8)

(2.8)

Уравнения (2.1) и (2.8) описывают переходные и установившиеся режимы работы трансформатора. Чтобы получить комплексные уравнения трансформатора, характеризующие только установившиеся режимы работы, нужно в (2.1) или (2.8)

заменить

p «d

dt «

jw. После замены

p «jw

из (2.8) имеем

U 1 = r 1 × I 1 +

jw × L × I +

(2.9)

- U 2= r 2× I 2+

jw × L × I +

jw × M × I.

Полное индуктивное сопротивление первичной обмотки

(2.10)

где

Ls 1

— индуктивность рассеяния первичной обмотки, соответствующая потоку

рассеяния

F s 1;

w × Ls 1

— индуктивное сопротивление рассеяния первичной обмотки;

w × M

— индуктивное сопротивление взаимной индукции.

Индуктивное сопротивление вторичной обмотки

(2.11)

где

w × Ls 2

— индуктивное сопротивление рассеяния вторичной обмотки;

Ls 2 —

индуктивность рассеяния вторичной обмотки. Подставляя (2.10) в первое уравнение (2.9), получаем

U 1 = r 1 × I 1 +

jw × M × I +

jw × Ls 1 × I 1 +

jw × M × I.

(2.12)

Вводя ток

I 0, равный

I 0 = I 1+ I 2,

(2.13)

jw × M × I +

jw × Ls 1 × I 1.

(2.14)

В (2. 14)

Тогда

- E 1=

jw × M × I,

x 1= w × Ls 1.

U 1 = - E 1+ z 1× I 1,

(2.15)

где сопротивление первичной обмотки

z 1 = r 1 +

jx 1.

(2.16)

Преобразуя второе уравнение в (2.9), как это было сделано для первого уравнения, получаем

- U 2= r 2× I 2+

jw × M × I +

jw × Ls 2 × I 2.

(2.17)

w × Ls 2

— индуктивное сопротивление рассеяния вторичной обмотки и

x 2= w × Ls 2 тогда

- U 2= E 2+ z 2× I 2,

(2.18)

где сопротивление вторичной обмотки

z 2= r 2+

jx 2.

(2.19)

а ЭДС первичной и вторичной обмоток

E 1= E 2= - jw × M × I 0.

(2.20)

Тогда комплексные уравнения трансформатора с одинаковым числом витков первичной и вторичной обмоток примут вид

U 1= - E 1+ z 1× I 1; ü

ï

- U 2 = E 2+ z 2× I 2;ý

ï

(2.21)

I 0= I 1+ I 2. þ

Если к уравнению трансформатора (2.21) добавить уравнение нагрузки

U 1= z × I 2,

(2.22)

получим уравнения, описывающие работу трансформатора в установившихся режимах.