Негізгі метрикалық кеңістіктер

1.Нақты сандар түзуі. R – барлық нақты сандар жиыны болсын. Егер х,у€R болса

р(х,у)=|х-у| деп аламыз. Аксиомалар орындалуы

(R,р) – нақты сандар метрикалық кеңістік деп аталады

2.Евклид кеңістігі -арифметикалық n-өлшемді кеңістік болсын

Егер х=() және у=( болса, онда

Бұл функция үшін аксиомалар орындалады. ( -Евклид метрикалық кеңістігі деп аталады.

Бұл кеңістік жинақтылық координаталар бойынша

3. С[а,в]-[а,в] кесіндісінде анықталған және үзіліссіз функциялардың метрикалық (және сызықты) кеңістігі.

Х-[а,в] кеңістігінде анықталған және үзіліссіз функциялар жиыны болсын. Осы жиында мынадай метрика енгіземіз

Р(х,у)=max|x(t)-y(t)|

Метрика аксиомаларының орындалатын көрсетеміз.

Анықтама бойынша р(х,у) 0 және р(х,у)=0 <=> x(t)=y(t) және сонымен қатар

р(х,у)=р(у,х)

Енді үшбұрыштар аксиомасының орындалатын көрсетеміз

νt€[a,b] үшін

|х(t)-z(t

Демек р(х,z) p(x,y)+h(y,z)

Бұл үзіліссіз функциялардың Чебышев метрикасы бойынша метрикалық кеңістігі немесе С[а,в] кеңістігі

С[а,в] кеңістігіндегі жинақтылық:

тізбегі х(t)-ға жинақталсын, немесе р( тізбегінің функциясына бірқалыпты жинақтылық болады.

Сонымен С[а,в] кеңістігіндегі жинақтылық –бірқалыпты жинақтылық болады.

4. Шектелген сандар тізбегінің метрикалық кеңістігі

Х шектелген сандар тізбегінің жиыны болсын. Егер х€Х болса онда

және х€Х бұл дегеніміз әрбір х үшін тұрақты саны табылып, барлық і индекстері үшін

теңсіздігі орындалады.

Бізге берілген Х жиынынан х= және у тізбектері берілсін. Енді

Р(х,у)

Теңдігі арқылы х€Х, у€Х элементтерінің арақашықтығын анықтаймыз. Бұл арақашықтық үшін тепе-теңдік және симметрия аксиомалары орындалатынын жеңіл көруге болады. Енді біз үшбұрыш аксиомасының орындалатынын көрсетеміз

және үшін

Сондықтан, және

Демек р(х,у)= арақашықтығы –Метрика болады осылайша анықталған кеңістік шектелген сандар тізбегінің метрикалық кеңістігі деп аталады және ол m әрпімен белгіленеді.

Енді m кеңістігіндегі элементтерді жинақтылығын анықтайық

және х m-ге тиісті болсын, немесе , х€m, және р( Соңғы өрнектерден мынадай тұжырым шығады:

номері табылып болғанда

Демек үшін кері тұжырымды да жеңіл байқауға болады:

· Егер болғанда барлық і үшін онда

Демек мынадай тұжырым орындалады: m кеңістігіндегі Жинақтылық координаталар бойынша және олардың номерлері бойынша бірқалыпты.

5. Жинақты сандар тізбектерінің жиыны болсын

х Х болса,

х=

Х-тің кез келген екі элементі болсын. Бұл элементтенр үшін р(х,у)= деп қабылдаймыз. Осы жолмен алған Х с кеңістігі деп аталады. с<m болатынын жеңіл байқауға болады. Демек с кеңістігінде метрикалық кеңістіктің аксиомалары орындалады. Сондықтан с кеңістігіндегі жинақтылық координаталаро бойынша жүреді және олардың номерлері бойынша бірқалыпты болады.