Компонентные и топологические уравнения тепловой системы

В тепловой системе фазовыми переменными типа потока являются температуры Т, К, а типа потенциала — тепловые потоки Ф, Вт (или Дж/с).

Рассмотрим одномерный процесс теплопередачи в твердом теле, полагая, что передача тепловой энергии осуществляется только вдоль оси х. Разделим твердое тело вдоль этой оси на слои толщиной I, осуществив тем самым дискретизацию сплошной сре­ды. Каждый из полученных при этом дискретных элементов можно характеризовать средними значениями параметров: плот­ности , теплоемкости с_т и коэффициента теплопроводности . Очевидно, что эти реальные физические элементы, имеющие оп­ределенные геометрические формы и объемы, являются сложны­ми, так как обладают одновременно инерционными и диссипативными свойствами, что характерно для сеточных методов дискретизации. Однако и в этом случае физические свойства дис­кретных элементов, так же как и в механической или гидравли­ческой системе, можно отобразить простыми абстрактными эле­ментами: инерционным и диссипативным.

Изменение тепловой энергии в каждом дискретном эле­менте пропорционально приращению его температуры Т. В результате можно записать следующее дифференциальное урав­нение:

(3.32)

где с_т — теплоемкость дискретного элемента, Дж/К:

(3.33)

С — удельная теплоемкость материала, Дж/(кг-К); V — объем дискретного элемента, м³.

Изменение тепловой энергии в единицу времени представ­ляет собой тепловой поток , поэтому уравнение (3.32)

запишем в виде

(3.34)

Сопоставляя уравнение (3.34) с выражением (3.1), приходим к выводу, что оно является компонентным уравнением инерци­онного элемента тепловой системы.

Диссипативные свойства тепловой системы описываются уравнением Фурье . В одномерном случае уравнение Фурье имеет вид

(3.35)

где — плотность теплового потока, Дж/(м²с):

(3.36)

А — площадь поверхности контакта дискретного элемента с ис­точником тепловой энергии или со смежным дискретным элемен­том; X — коэффициент теплопроводности, Дж/(смК).

Заменим частную производную дТ/дх отношением конечной разности

(3.37) (3.37)

где , Т₂ — температуры в узлах дискретизации 1 и 2, т.е. на границах выделенных элементов твердого тела; — длина дис­кретного элемента.

В выражении (3.37) учтено, что градиент температуры вдоль оси х отрицателен (температура падает по мере удаления от ис­точника тепла).

Подставим значения и дТ/дх в уравнение (3.35):

(3.38) (3.38)

Формула (3.38) позволяет определить величину потерь теп­лового потока в дискретном элементе в процессе теплопередачи.

Следовательно, она дает математическое описание диссипативного элемента.

Введем обозначение

(3.39) (3.39)

где — коэффициент теплового сопротивления дискретного эле­мента, Дж/(сК); V — объем дискретного элемента, м³.

С учетом (3.39) получаем компонентное уравнение дисси­пативного элемента тепловой системы

(3.40) (3-40)

По формуле (3.39) определяют при передаче тепла в твер­дом теле теплопроводностью, т.е. при индуктивном теплообме­не. На поверхностях контакта твердого тела с жидкостной или га­зовой средой осуществляется конвективный теплообмен. Тепловой поток при конвективном теплообмене, в соответствии с законом Ньютона, пропорционален разности температур среды Т_с и поверхностного слоя твердого тела :

(3.41)

где .

В этом случае коэффициент теплового сопротивления опре­деляется по формуле

(3.42)

где — коэффициент теплообмена (теплоотдачи) через конвек­цию, Дж/(см²К).

Упругими свойствами тепловая система не обладает. Это следует из того, что тепловая энергия может передаваться только от более нагретых дискретных элементов к менее нагретым. Иными словами, тепловой поток при теплопередаче в твердом те­ле направлен противоположно градиенту температуры.

Значение фазовой переменной типа потенциала Ф_и характе­ризует величину теплового потока, затрачиваемую на изменение кинетической энергии дискретного элемента твердого тела в про­цессе теплопередачи, а значение Ф_д — величину потерь, обуслов­ленную преодолением теплового сопротивления. Переменные Ф_и и Ф_д представляют собой внутренние потенциалы элементов теп­ловой системы. Параметрами инерционных и диссипативных элементов являются соответственно теплоемкость с_Т и коэф­фициент теплового сопротивления .

Фазовая переменная типа потока Т_и характеризует температуру дискретного элемента, а представляет собой разность тем­ператур смежных дискретных элементов.

Топологические уравнения имеют вид

Первое уравнение выражает условие равновесия потенциа­лов на поверхностях контакта дискретных элементов, а второе — условие непрерывности функции температуры.