Динамическая модель технического объекта на макроуровне

Построение математической модели технического объекта осуществляется на основе его динамической модели. Динамиче­ская модель — это абстрактное графическое отображение основ­ных физических свойств технического объекта и характеристик взаимодействия с внешней средой.

При построении динамической модели следует принимать во внимание лишь те физические свойства объекта и воздействия внешней среды, которые могут оказать существенное влияние на точность результатов исследования моделируемого процесса функционирования объекта. Такой подход позволит избежать не­обоснованной избыточности в его математическом описании. Но при этом должна быть обеспечена адекватность математической модели.

На этапе построения математической модели микроуровня в инвариантной форме динамическая модель объекта проста. Она представляет собой графическое изображение области определе­ния объекта соответствующей конфигурации, определяемой граничной поверхностью S, посредством которой осуществляется взаимодействие объекта с внешней средой. Во многих случаях достаточно вербального описания динамической модели. Необхо­димость построения динамической модели микроуровня возникает лишь при разработке алгоритмической модели.

При построении математической модели макроуровня в ин­вариантной форме почти всегда необходима разработка динамиче­ской модели. Это объясняется тем, что структура динамической модели макроуровня гораздо сложнее. Она представляется в виде совокупности взаимодействующих дискретных элементов и ее сложность зависит от степени абстрагирования при отображении физических свойств объекта.

На макроуровне для выделения дискретных элементов из сплошной среды используют различные методы: сеток, функцио­нально законченных элементов и сосредоточенных масс.

Методы сеток подразделяют на метод конечных разностей и метод конечных элементов. Они обычно используются при по­строении алгоритмической модели на микроуровне в процессе алгебраизации дифференциальных уравнений в частных производ­ных, но могут применяться и для построения математической модели макроуровня путем аппроксимации модели микроуровня.

Метод функционально законченных элементов основан на выделении типовых элементов технического объекта, завершен­ных в конструктивном отношении и предназначенных для вы­полнения определенных функций (например, в гидромеханиче­ской системе — участок гидромагистрали, золотниковый клапан, дроссель, обратный клапан, насос, гидромотор и др.). Имея биб­лиотеку математических моделей функционально законченных элементов и зная структуру технического объекта, можно соста­вить полную математическую модель.

Наиболее часто при построении динамической модели ис­пользуют метод сосредоточенных масс. Этот метод применим, если система имеет явно выраженный дискретный спектр собст­венных частот. Это характерно для технических объектов, у ко­торых масса распределена в пространстве неравномерно. Например, в механической системе автомобиля масса вращающихся де­талей в основном сосредоточена в маховике двигателя, крупных шестернях трансмиссии, барабане стояночного тормоза, колесах, имеющих большие радиальные размеры и обладающих болыпими моментами инерции, а соединяющие их детали (валы, муфты, карданные передачи и др.) имеют малые радиальные размеры и массу, но обладают существенными упругими свойствами. Из на­звания метода следует, что он предназначен для моделирования технических объектов, мерой инертности элементов которых слу­жит масса.

При построении динамической модели методом сосредото­ченных масс выделяют некоторые абстрактные материальные суб­станции, наделяя их определенными физическими свойствами. Такими субстанциями являются: сосредоточенные массы, эквива­лентные массам соответствующих частей технического объекта, и элементы, лишенные массы (невесомые), отображающие характер взаимодействия сосредоточенных масс.

Сосредоточенные массы обладают инерционными свойства­ми и способностью накапливать кинетическую энергию. Их назы­вают инерционными элементами. Количество выделяемых сосре­доточенных масс в динамической модели равно числу ее степеней свободы.

Взаимодействие сосредоточенных масс осуществляется по­средством упругих, диссипативных, фрикционных и трансформа­торных элементов.

Упругие элементы отображают упругие свойства динамиче­ской системы. Они обладают способностью накапливать потенци­альную энергию.

Диссипативные элементы отображают свойства диссипа­ции (рассеивания) энергии конструктивными элементами техни­ческого объекта, обусловленные силами внутреннего трения, пропорциональными относительной скорости перемещения взаи­модействующих сосредоточенных масс (или сосредоточенных масс относительно внешней среды, например, при движении жидкости в трубопроводе).

Фрикционные элементы отображают физические свойства фрикционных механизмов технического объекта.

Трансформаторные элементы отображают безынерционные преобразования параметров потока энергии, осуществляемые тех­ническими устройствами, называемыми трансформаторами.

Следует отметить, что рабочие процессы трансформаторов в общем случае могут быть весьма сложными, в особенности, если происходит преобразование одного вида энергии в другой. В таком случае необходима более детальная математическая модель трансформатора. Здесь же речь идет о тех случаях, когда внут­ренними процессами трансформатора можно пренебречь и учиты­вать лишь пропорциональные изменения величин выходных фа­зовых переменных по отношению к величинам переменных на его входе без преобразования вида энергии.

Состояние сосредоточенных масс характеризуется фазовыми координатами типа потока. Это геометрические координаты и их первые производные по времени, позволяющие определять по­ложение сосредоточенных масс в многомерном фазовом простран­стве и скорости их движения.

Взаимодействие различных элементов динамической модели отображается переменными типа потенциала.

Фазовые координаты типа потока выбирают в качестве обобщенных координат. Количество независимых обобщенных координат системы равно числу ее степеней свободы. В общем случае не все введенные фазовые переменные типа потока будут независимыми. Переменные же типа потенциала всегда принад­лежат к зависимым координатам и выражаются через переменные типа потока.

Направления фазовых координат типа потока выбирают та­ким образом, чтобы они отражали положительное направление потока передаваемой через техническую систему энергии внешних источников. При этом также учитываются ограничения, нало­женные объектами внешней среды на свободу перемещения сосре­доточенных масс. Направления фазовых координат типа потока должны быть отображены в динамической модели системы.

Ограничения на изменения геометрических координат и скоростей движения сосредоточенных масс динамической систе­мы называют связями. Различают связи: геометрические (пози­ционные) и кинематические; удерживающие и неудерживающие {виртуальные); стационарные и нестационарные; голономные и неголономные. Математическое описание ограничений дается уравнениями связей. Каждое уравнение связи отображает тот факт, что данная связь лишает материальную систему одной сте­пени свободы. При этом соответственно уменьшается количество независимых координат системы.

Если в динамической модели выбрать только такие незави­симые фазовые координаты, которые отображают лишь переме­щения сосредоточенных масс, допускаемые позиционными удерживающими связями, то необходимость составления и ис­пользования уравнений этих связей исключается. Сложное дви жение твердого тела при этом раскладывается на простейшие со­ставляющие — поступательное и вращательное.

При моделировании технического объекта с виртуальными и неголономными связями уравнения этих связей включаются в состав математической модели.

Для обозначения элементов в динамических моделях при­меняют графические изображения, используемые в кинематиче­ских и принципиальных схемах.

В заключение еще раз подчеркнем необходимость обосно­ванного подхода к выбору моделей на различных этапах проекти­рования, постепенного их усложнения при приближении к за­ключительному этапу. Необходимость использования большого количества разнообразных моделей в процессе проектирования одного и того же технического объекта обусловливает актуаль­ность автоматизации их формирования.