Модели механических систем на микроуровне

Технический уровень изделий машиностроения в значительной мере определяется рациональным выбором геометрических параметров входящих в их состав механических элементов. Форма и размеры элементов, их взаимное расположение в конечном счете определяют важнейшие параметры технического объекта — его массу и габариты, показатели надежности и долговечности.

Для решения задачи выбора геометрических параметров технического объекта необходим анализ напряженно-деформированного состояния его элементов. Значения напряжений и деформаций позволяют оценить прочность, долговечность, виброустойчивость конструктивных элементов и осуществить поиск их оптимальных размеров и конфигурации.

Примеры объектов проектирования: валы двигателей и трансмиссий, корпуса, рамы, панели и стержневые конструкции автомобилей, самолетов, станков, кораблей и др.

Современные методы анализа напряженно-деформированного состояния несущих элементов различных технических систем базируются на использовании моделей с распределенными параметрами. В основе построения таких моделей лежит теория упругости. Динамические модели различных элементов технических объектов сводятся к стержневым, пластинчатым, оболочечным или объемным системам, находящимся под действием произвольных механических нагрузок (сосредоточенных, распределенных, детерминированных, случайных и др.). Эти модели представляют собой динамические системы с распределенными параметрами, функционирование которых описывается дифференциальными уравнениями в частных производных.

Математической моделью анализа напряженно-деформированного состояния элемента механической системы является основное уравнение теории упругости — уравнение Ламе. Это уравнение выводится из условия динамического равновесия твердого тела под действием приложенных к нему сил, включая и силу инерции.

Выделим в твердом теле элементарный параллелепипед (рис. 2.1). Сформулируем условия его равновесия: геометрическая сумма сил, приложенных к выделенному элементарному параллелепипеду, включая его силу инерции, равна нулю. При этом учитываются распределенные нагрузки на гранях параллелепипеда и массовая сила. Распределенные нагрузки представляются нормальными и касательными напряжениями. Учитывая закон о парности касательных напряжении, согласно которому , получаем уравнения равновесия в проекциях на оси

Рис. 2.1. Компоненты напряжений

на гранях элементарного

параллелепипеда

(2.51)

где — плотность материала твердого тела; — перемещение элемента вдоль оси ; — напряжение, действующее в направлении оси в грани элемента, перпендикулярной оси . — проекция вектора массовых сил на ось , — вектор ускорения свободного падения.

Напряжения связаны с деформациями а

последние — с перемещениями . В случае линейной зависимости между ними, устанавливаемой законом Гука, для анизотропного тела имеем

,(2.52)

(2.53)

где — деформация, вычисляемая по формуле

(2.54)

и -постоянные Ламе, характеризующие упругие свойства среды

(2.55)

(2.56)

— модуль упругости; v — коэффициент Пуассона.

Заменяя напряжения на деформации в уравнениях равновесия (2.51), получаем основное уравнение теории упругости, называемое уравнением Ламе

(2.57)

где — вектор перемещений; — оператор Лапласа.

Модели для анализа напряжений и деформаций часто оказываются более удобными, если представлены в интегральной форме, вытекающей из вариационных принципов механики. Вариационный принцип Лагранжа (принцип потенциальной энергии) гласит, что потенциальная энергия системы получает стационарные значения на тех кинематические возможных перемещениях, отвечающих заданным граничным условиям, которые удовлетворяют условиям равновесия. Поэтому модель представляют в виде выражения потенциальной энергии системы как разность энергии деформации и работы массовых и приложенных поверхностных сил:

,

где

— вектор-строка деформаций; — вектор-столбец

напряжений; — область определения искомой функции. Введем матрицу

(2.58)

Используя матрицу (2.58), уравнения (2.52) и (2.53) можно записать в лаконичной форме

. (2.59)

При использовании принципа Лагранжа вместо решения уравнения (2.57) требуется минимизировать функционал

(2.60)