Тема 9-10 Определенный интеграл.

Пусть на отрезке задана функция . Разобьем отрезок на элементарных отрезков точками . На каждом отрезке разбиения выберем некоторую точку и положим , где . Сумму вида

(1)

будем называть интегральной суммой для функции .на . Для избранного разбиения отрезка на части обозначим через максимальную из длин отрезков , где .

Пусть предел интегральной суммы при стремлении к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек и точек . Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции на , обозначается , а сама функция называется интегрируемой на отрезке , то есть

= .

Экономический смысл интеграла. Если - производительность труда в момент времени , то есть объем выпускаемой продукции за промежуток

. Величина и объем продукции, произведенной за промежуток времени , численно равна площади под графиком функции , описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке или .

Достаточное условие существования интеграла. Теорема. Если непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства определенного интеграла.

1.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть

,

где - некоторое число.

2.Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, то есть

.

3.Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, то есть при любых

4.Если на отрезке , где , , то и

.

Следствие. Пусть на отрезке , где , , где и - некоторые числа. Тогда

.

Теорема о среднем. Если функция непрерывна на отрезке , где , то найдется такое значение , что

.

Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке и - любая первообразная для на . Тогда определенный интеграл от функции на равен приращению первообразной на на этом отрезке, то есть

Эта формула называется формулой Ньютона - Лейбница.

Теорема. Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке , и функция непрерывна в каждой точке вида , где .

Тогда имеет место равенство

= .

Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

Теорема. Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда

.

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.

Теорема. Пусть на отрезке заданы непрерывные функции и такие, что . Тогда площадь фигуры, заключенной между кривыми и , на отрезке вычисляется по формуле

Пусть на отрезке задана непрерывная знакопостоянная функция . Тогда объем тела, образованного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями , и находится по формуле

.

Глоссарий

№ п/п	Новые понятия	Содержание
	Определение определенного интеграла
2.	Свойства определенного интеграла	1) 2) 3) 4) если , то 5) если , то , 6) если непрерывна на [ a,b ], то [ a,b ], что выполняется:
3.	Формула Ньютона-Лейбница
4.	Замена переменной в определенном интеграле
5.	Площадь криволинейной фигуры, ограниченной
6.	Объем тела вращения

Тема11-12.Дифференциальные уравнения.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.

Дифференциальное уравнение го порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид

.

Решением дифференциального уравнение называется такая функция , которая при подстановке ее в это уравнение обращает его тождество.

Общим решением дифференциального уравнения го порядка называется такое его решение

,

которое является функцией переменных и произвольных независимых постоянных .

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных .

Теорема. Пусть в дифференциальном уравнении

(1)

функция и ее частная производная непрерывны на открытом множестве координатной плоскости. Тогда

1. Для любой точки множества найдется решение уравнения (1), удовлетворяющее условию .

2. Если два решения и уравнения (1) совпадают хотя бы для одного значения , то эти решения совпадают для всех тех значений переменной , для которых они определены.

Дифференциальное уравнение (1) первого порядка называется неполным, если функция явно зависит либо только от , либо только от .

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде

или в виде

,

где , , - некоторые функции переменной ; - функции переменной .

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид

,

где и - некоторые (непрерывные) функции переменной .

В случае, когда функция тождественно равна нулю, уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

, (2)

где - некоторые действительные числа, - некоторая функция.

Если , то уравнение

(3) называется однородным, в противном случае при уравнение (2) называется неоднородным.

Теорема. Если и - линейно независимые частные решения уравнения (3), то общее решение этого уравнения является линейной комбинацией этих частных решений, то есть имеет вид

,

Для некоторых действительных чисел и .

Уравнение

(4)

называется характеристическим уравнением уравнения (3).

Теорема.

1. Пусть характеристическое уравнение (4) имеет действительные корни , причем . Тогда общее решение уравнения (3) имеет вид

,

где и - некоторые числа.

2. Если характеристическое уравнение (4) имеет один корень (кратности 2), то общее уравнения (3) имеет вид

,

где и - некоторые числа.

3. Если характеристическое уравнение (4) не имеет действительных корней, то общее решение уравнения (3) имеет вид

,

где , , и - некоторые числа.

Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (2) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (3) и частного решения исходного неоднородного уравнения (2).

Глоссарий

№ п/п	Новые понятия	Содержание
	Определение дифференциального уравнения	Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию и производные различных порядков данной функции:
	Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
	Однородные уравнения первого порядка	Уравнение называется однородным, если выполняется условие
	Линейное уравнение первого порядка	, где и - непрерывные функции
	Уравнение Бернулли
	Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами	, где - постоянные числа. Общее решение равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения исходного неоднородного уравнения:
	Решение линейного, однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами	Пусть корни характеристического уравнения следующие: а) -действительные, тогда + б) = - действительные, тогда в) - комплексные корни, тогда
	Метод вариации произвольных постоянных решения неоднородного уравнения	Решение ищется в виде полученное из , причем и находятся из системы уравнений